fnder
関数の微分
説明
fprime = fnder(f,dorder)f 内の関数の dorder 階微分を返します。dorder の既定値は 1 です。dorder が負の場合、基本区間の左の端点で |dorder| 重に 0 になる特定の |dorder| 階不定積分が返されます。
出力は入力と同じ形式で、両方が pp 型、両方が B 型、または両方が st 型です。
f 内の関数が m 変量の場合、dorder を指定し、長さは m でなければなりません。
参考:
fが pp 型または最後のノットの多重度が十分に高い B 型の場合、丸め誤差を除き、fとfnder(fnint(f))は同じです。fが pp 型で、faが基本区間の左の端点にあるf内の関数の値である場合、fによって表記される関数にジャンプ不連続点がない限り、丸め誤差を除き、fとfnint(fnder(f),fa)は同じです。fが B 型の f を含んでおり、t1 が左端のノットの場合、丸め誤差を除き、fnint(fnder(f))には B 型の f – f(t1) が含まれます。ただし、左端のノットの多重度が 1 つ減ります (最初の多重度が 1 より大きい場合)。また、右端のノットは、f 内の B 型のfの右端のノットがそうでない場合でも、完全多重度をもちます。これを検証するには、スプラインsp = spmak([0 0 1], 1)を作成します。このスプラインは、基本区間 [0..1] では、0 で 1、1 で 0 の直線です。ここで、その導関数spdi = fnint(fnder(sp))を積分します。spdiのスプラインの基本区間は同じですが、その区間では 0 で 0、1 で -1 の直線に一致します。
fnder(f) は fnder(f,1) と同じです。
例
この例では、次数 2、3、4 の 3 つの B スプラインについて 1 次導関数および 2 次導関数を計算する方法を説明します。次に、スプラインとその微分をプロットし、結果を比較します。
% Create the knots sequences t1 = [0 .8 2]; t2 = [3 4.4 5 6]; t3 = [7 7.9 9.2 10 11]; tt = [t1 t2 t3]; % Accessory variables and commands for plotting purposes cl = ['g','r','b','k','k']; v = 5.4; d1 = 2.5; d2 = 0; s1 = 1; s2 = .5; ext = tt([1 end])+[-.5 .5]; plot(ext([1 2]),[v v],cl(5)) hold on plot(ext([1 2]),[d1 d1],cl(5)) plot(ext([1 2]),[d2 d2],cl(5)) ts = [tt;tt;NaN(size(tt))]; ty = repmat(.2*[-1;0;NaN],size(tt)); plot(ts(:),ty(:)+v,cl(5)) plot(ts(:),ty(:)+d1,cl(5)) plot(ts(:),ty(:)+d2,cl(5)) % Spline 1 (linear) b1 = spmak(t1,1); p1 = [t1;0 1 0]; % Calculate the first and second derivative of spline 1 db1 = fnder(b1); p11 = fnplt(db1,'j'); p12 = fnplt(fnder(db1)); lw = 2; plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(2),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(2),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(2),'LineWidth',lw) % Spline 2 (quadratic) b1 = spmak(t2,1); p1 = fnplt(b1); % Calculate the first and second derivative of spline 2 db1 = fnder(b1); p11 = [t2;fnval(db1,t2)]; p12 = fnplt(fnder(db1),'j'); plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(3),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(3),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(3),'LineWidth',lw) % Spline 3 (cubic) b1 = spmak(t3,1); p1 = fnplt(b1); % Calculate the first and second derivative of spline 3 db1 = fnder(b1); p11 = fnplt(db1); p12=[t3;fnval(fnder(db1),t3)]; plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(4),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(4),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(4),'LineWidth',lw) % Formatting the plot tey = v+1.5; text(t1(2)-.5,tey,'linear','FontSize',12,'Color',cl(2)) text(t2(2)-.8,tey,'quadratic','FontSize',12,'Color',cl(3)) text(t3(3)-.5,tey,'cubic','FontSize',12,'Color',cl(4)) text(-2,v,'B','FontSize',12) text(-2,d1,'DB','FontSize',12) text(-2,d2,'D^2B') axis([-1 12 -2 7.5]) title({'B-splines with Simple Knots and Their Derivatives'}) axis off hold off
入力引数
出力引数
制限
関数
fnderは有理スプラインでは機能しません。有理スプラインの場合は、代わりにfntlrを使用します。関数
fnderは st 型の場合のみ限定された方法でのみ機能します。型がtp00の場合、dorderは[1,0]または[0,1]にすることができます。
アルゴリズム
どちらの多項式型の微分の場合も、関数 fnder は導関数を区分的多項式の観点から求めます。関数は、それぞれの多項式区分を個別に微分します。多項式区分間のジャンプ不連続点は微分時に無視されます。
B 型の場合、関数は微分の式 [PGS; (X.10)] を使用します。
st 型の場合、微分は、特定の型の基底関数に関連する導関数の式がわかるかどうかに依存します。
バージョン履歴
R2006a より前に導入
