modred

(非推奨) 状態空間モデルから状態を消去する

modred は推奨されません。代わりに xelim を使用してください。 (R2023b 以降)

構文

rsys = modred(sys,elim)
rsys = modred(sys,elim,'method')


説明

rsys = modred(sys,elim) は、ベクトル elim で指定された状態を消去することで、連続または離散の状態空間モデル sys の低次元化を行います。完全な状態ベクトル X は、X = [X1;X2] に分割されます。ここで、X1 は低次元化された状態ベクトルで、X2 は破棄されます。

elim は、X に応じたインデックス ベクトル、または logical ベクトルになります。ここで、値 true は、削除される状態を示します。この関数は通常、balreal と一緒に使用されます。最初に balreal を使用して、I/O 応答に対して影響のない寄与を状態から分離します。sys を balreal で平衡化し、ハンケル特異値のベクトル g が M 個の小さい要素をもつ場合、modred を使用して対応する M 個の状態を消去することができます。以下に例を示します。

[sys,g] = balreal(sys)  % Compute balanced realization
elim = (g<1e-8)         % Small entries of g are negligible states
rsys = modred(sys,elim) % Remove negligible states

rsys = modred(sys,elim,'method') は、状態消去方法も指定します。'method' の選択肢は次のとおりです。

• 'MatchDC' (既定): DC ゲインを一致させます。状態空間行列は、アルゴリズムで説明されているように、再計算されます。

• 'Truncate':X2 を単に削除します。

'Truncate' オプションは、周波数領域でより良い近似を行う傾向がありますが、DC ゲインが一致することは保証されません。

状態空間モデル sys が balreal で平衡化され、グラミアンが m 個の小さな対角要素をもつ場合、modred を利用して最後の m 個の状態を消去することで、モデルを低次元化できます。

例

DC ゲイン マッチング法と直接削除法による低次元化

次の連続 4 次モデルについて考えます。

$$h(s)=\frac{s^3+11s^2+36s+26}{s^4+14.6s^3+74.96s^2+153.7s+99.65}.$$

低次元化するため、最初に balreal で平衡化状態空間実現を計算します。

h = tf([1 11 36 26],[1 14.6 74.96 153.7 99.65]);
[hb,g] = balreal(h);

グラミアンを調べます。

g'

ans = 1×4

    0.1394    0.0095    0.0006    0.0000

平衡化されたグラミアンの最後の 3 つの対角要素は比較的小さくなります。DC ゲイン マッチング法と直接削除法の両方を使用して、貢献度が最も低いこれら 3 つの状態を modred で消去します。

hmdc = modred(hb,2:4,'MatchDC');
hdel = modred(hb,2:4,'Truncate');

hmdc と hdel はいずれも 1 次モデルです。ボード応答を元のモデルの応答と比較します。

bodeplot(h,'-',hmdc,'x',hdel,'*')

低次元化されたモデル hdel の方が明らかに h の周波数領域近似として適しています。次にステップ応答を比較します。

stepplot(h,'-',hmdc,'-.',hdel,'--')

hdel は過渡動作を正確に反映しますが、hmdc だけが、定常状態応答と一致します。

アルゴリズム

DC ゲイン マッチング法のアルゴリズムは次のとおりです。次の連続時間モデルの場合、

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

状態ベクトルは、状態を残す x₁ と、状態を消去する x₂ で分割されます。

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cc}{C}_1& C_2\end{array}\right]x+Du\end{array}$$

次に、x₂ の微係数は 0 に設定され、結果の方程式は x₁ に関する式です。低次元化されたモデルは以下によって与えられます。

$$\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=\left[A_{11}-A_{12}{A}_{22}{}^{-1}{A}_{21}\right]x_1+\left[B_1-A_{12}{A}_{22}{}^{-1}{B}_2\right]u\\ y=\left[C_1-C_2{A}_{22}{}^{-1}{A}_{21}\right]x+\left[D-C_2{A}_{22}{}^{-1}{B}_2\right]u\end{array}$$

離散時間は以下を設定することで同様に処理されます。

$$x_2[n+1]=x_2[n]$$

modred はこの実現のスケーリングしたバージョンを返します。このスケーリングを無効にするには、状態を消去する前に sys.Scaled を true に設定します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2023b: 非推奨

modred は推奨されません。xelim は、状態を消去してモデルを簡略化する場合に使用します。

参考

xelim | reducespec | balreal | minreal