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dare

(非推奨) 離散時間代数リカッチ方程式を解く

dare は推奨されません。代わりに idare を使用してください。詳細については、バージョン履歴を参照してください。

構文

[X,L,G] = dare(A,B,Q,R)

[X,L,G] = dare(A,B,Q,R,S,E)

[X,L,G,report] = dare(___)

[X1,X2,D,L] = dare(___,'factor')

説明

[X,L,G] = dare(A,B,Q,R) は、離散時間代数リカッチ方程式の一意の安定化解 X を計算します。

$$A^{T}XA-X-A^{T}XB{(B^{T}XB+R)}^{-1}{B}^{T}XA+Q=0$$

dare 関数は、ゲイン行列 G と閉ループ固有値のベクトル L も返します。

[X,L,G] = dare(A,B,Q,R,S,E) は、次のようなより一般的な離散時間代数リカッチ方程式を解きます。

$$A^{T}XA-E^{T}XE-(A^{T}XB+S){(B^{T}XB+R)}^{-1}(B^{T}XA+S^T)+Q=0$$

または、R が正則の場合、下記と等価です。

$$E^{T}XE=F^{T}XF-F^{T}XB{(B^{T}XB+R)}^{-1}{B}^{T}XF+Q-S{R}^{-1}{S}^T$$

ここで、$$F=A-B{R}^{-1}{S}^T$$ です。

[X,L,G,report] = dare(___) は、診断レポートも返します。

[X1,X2,D,L] = dare(___,'factor') は、リカッチ方程式の因数分解した解を返します。

例

離散時間代数リカッチ方程式を解く

次の行列のセットを考慮して離散時間代数リカッチ方程式を解きます。

A = [-0.9,-0.3;0.7,0.1];
B = [1;1];
Q = [1,0;0,3];
R = 0.1;

dare を使用して安定化解を求め、S と E を既定値として上記の行列について解きます。

[X,L,G,report] = dare(A,B,Q,R)

X =

    4.7687    0.9438
    0.9438    3.2369


L =

   -0.4460
   -0.0027


G =

   -0.2216   -0.1297


report =

   9.4192e-16

入力引数

A, B, Q, R, S, E — 入力行列

行列

入力行列。行列として指定します。R、S、および E を省略すると、関数は既定値の R = I、S = 0、および E = I を使用します。

出力引数

X — リカッチ方程式の解

行列

離散時間代数リカッチ方程式の解。行列として返されます。

関連するシンプレクティック行列が単位円上に固有値をもつ場合、dare は X に [] を返します。

L — 閉ループ固有値

ベクトル

閉ループ固有値。行列として返されます。

閉ループ固有値 L は次のように計算されます。

L=eig(A-B*G,E)

G — 状態フィードバック ゲイン

行列

状態フィードバック ゲイン。行列として返されます。

状態フィードバック ゲイン G は次のように計算されます。

$$G={(B^{T}XB+R)}^{-1}(B^{T}XA+S^T)$$

関連するシンプレクティック行列が単位円上に固有値をもつ場合、dare は G に [] を返します。

report — 診断レポート

スカラー

診断レポート。次のいずれかの値をもつスカラーとして返されます。

• 関連するシンプレクティック ペンシルが単位円上またはその近傍に固有値をもつ場合は -1。

• 有限の安定化解 X が存在しない場合は -2。

• X が存在し、有限である場合はフロベニウス ノルム。

X1, X2, D — 因数分解した解

行列

因数分解した解の行列。行列として返されます。関数は、X₁ および X₂ と、X = D(X₁/X₂)D であるような対角のスケーリング行列 D を返します。

関連するシンプレクティック行列が単位円上に固有値をもつ場合、dare は X1、X2、および D を空として返します。

制限

(A, B) 組は可安定でなければなりません (つまり、単位円板外にある A の固有値はすべて可制御でなければなりません)。さらに、関連付けられたシンプレクティック ペンシルは、単位円上に固有値をもつことはできません。この状態を有効にするための十分条件は、S = 0 and R > 0 のときに (Q, A) が可検出であるか、または

$$\left[\begin{array}{cc}Q& S\\ S^T& R\end{array}\right]>0$$

アルゴリズム

dare は、[1]に記述されているアルゴリズムを実装しています。QZ アルゴリズムを使用して、拡張されたシンプレクティック ペンシルを縮小し、その安定した不変部分空間を計算します。

参照

[1] Arnold, W.F., and A.J. Laub. “Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations.” Proceedings of the IEEE 72, no. 12 (1984): 1746–54. https://doi.org/10.1109/PROC.1984.13083.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2019a: dare は非推奨

R2019a からは、idare コマンドを使用して離散時間リカッチ方程式を解きます。このアプローチでは、優れたスケーリングによって精度が向上し、dare と比べて R が悪条件の場合に K の計算がより正確になります。さらに、idare には、リカッチ方程式の陰的な解のデータを収集する、オプションの info 構造体が含まれます。

次の表に、dare の一般的な用法と、代わりに idare を使用するためにコードを更新する方法を示します。

非推奨	推奨
[X,L,G] = dare(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L] = idare(A,B,Q,R,S,E) は、離散時間代数リカッチ方程式の安定化解 X、状態フィードバック ゲイン K、および閉ループ固有値 L を計算します。詳細については、idare を参照してください。
[X,L,G,report] = dare(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L,info] = idare(A,B,Q,R,S,E) は、離散時間代数リカッチ方程式の安定化解 X、状態フィードバック ゲイン K、閉ループ固有値 L を計算します。info 構造体には陰的な解のデータが含まれます。詳細については、idare を参照してください。

現時点で dare を削除する予定はありません。

参考

idare