sinc

正規化 sinc 関数

構文

sinc(x)

説明

sinc(x) は sin(pi*x)/(pi*x) を返します。シンボリックな sinc 関数は浮動小数点の結果ではなく、シンボリックの結果のみを返します。浮動小数点の結果は、Signal Processing Toolbox™ の sinc 関数によって返されます。

例

シンボリック入力の sinc 関数

シンボリック変数 x の sinc 関数を作成します。

syms x
sinc(x)

ans = 
$$\frac{\sin \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x\hspace{0.17em}\pi }$$

sinc が、入力が 0 の場合は 1、他の整数の場合は 0、他の入力の場合は厳密なシンボリック値を返すことを示します。

V = sym([-1 0 1 3/2]);
S = sinc(V)

S = 
$$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -\frac{2}{3\hspace{0.17em}\pi }\end{array}\right)$$

vpa を使用して、厳密なシンボリック出力を高精度浮動小数点数に変換します。

vpa(S)

ans = $$\left(\begin{array}{cccc}0& 1.0& 0& -0.21220659078919378102517835116335\end{array}\right)$$

sinc 関数を含むフーリエ変換

sinc はフーリエ変換のテーブルに現れることがありますが、fourier は出力で sinc を返しません。

fourier がパルスを sin と cos について変換することを示します。

syms x
fourier(rectangularPulse(x))

ans = 
$$\frac{\sin \left(\frac{w}{2}\right)+\cos \left(\frac{w}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}-\frac{-\sin \left(\frac{w}{2}\right)+\cos \left(\frac{w}{2}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{w}$$

fourier が sinc を heaviside について変換することを示します。

fourier(sinc(x))

ans = 
$$\frac{\pi \hspace{0.17em}\mathrm{heaviside}\left(\pi -w\right)-\pi \hspace{0.17em}\mathrm{heaviside}\left(-w-\pi \right)}{\pi }$$

sinc 関数のプロット

fplot を使用して sinc 関数をプロットします。

syms x
fplot(sinc(x))

sinc 関数の別の関数への書き換え

rewrite を使用して、sinc 関数を指数関数 exp に書き換えます。

syms x
rewrite(sinc(x),'exp')

ans = 
$$\frac{\frac{{\mathrm{e}}^{-\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}}{x\hspace{0.17em}\pi }$$

sinc 関数の微分、積分、展開

関数 diff、関数 int および関数 taylor をそれぞれ使用して、sinc の微分、積分、展開を求めます。

sinc を微分します。

syms x
diff(sinc(x))

ans = 
$$\frac{\cos \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x}-\frac{\sin \left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{x^2\hspace{0.17em}\pi }$$

sinc を -Inf から Inf まで積分します。

int(sinc(x),[-Inf Inf])

ans = $$1$$

sinc を -Inf から x まで積分します。

int(sinc(x),-Inf,x)

ans = 
$$\frac{\mathrm{sinint}\left(\pi \hspace{0.17em}x\right)}{\pi }+\frac{1}{2}$$

sinc のテイラー展開を求めます。

taylor(sinc(x))

ans = 
$$\frac{{\pi }^4\hspace{0.17em}{x}^4}{120}-\frac{{\pi }^2\hspace{0.17em}{x}^2}{6}+1$$

sinc 関数における恒等の証明

恒等式を条件として定義し、関数 isAlways を条件の確認に使用することで恒等であることを証明します。

恒等式 $\mathrm{sinc}\left(\mathit{x}\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1+\mathit{x}\right)\Gamma \left(1-\mathit{x}\right)}$ を証明します。

syms x
cond = sinc(x) == 1/(gamma(1+x)*gamma(1-x));
isAlways(cond)

ans = logical
   1

入力引数

x — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

バージョン履歴

R2018b で導入

参考

sin