eig

シンボリック行列の固有値と固有ベクトル

構文

lambda = eig(A)

[V,D] = eig(A)

[V,D,p] = eig(A)

説明

lambda = eig(A) は、シンボリック正方行列 A の固有値をシンボリック ベクトルとして返します。

[V,D] = eig(A) は、A の固有ベクトルと固有値をシンボリック行列 V および D として返します。V の列は A の固有ベクトルを表します。D の主対角は、A の固有値を表します。

• V が A と同じサイズの場合、行列 A は A*V = V*D を満たす線形独立な固有ベクトルの完全集合をもちます。

• V の列が A の列より少ない場合、行列 A は欠陥があります。この場合、固有値 λ の少なくとも 1 つが、λ に関連する m 個未満の線形独立な固有ベクトルとの間で代数的多重度 m > 1 があります。

[V,D,p] = eig(A) は、インデックスのベクトル p も返します。p の長さは、線形独立な固有ベクトルの数に等しくなります。したがって、A*V = V*D(p,p) となります。

メモ

シンボリック関数 eig は、固有値と固有ベクトルをシンボリックに計算しますが、その構文と機能は MATLAB^® eig 関数とは異なります。たとえば、シンボリック関数 eig は、(2 つの入力引数をもつ) 一般化固有値問題の求解をサポートしていません。この問題を解くには、代わりに、入力行列を MATLAB の数値型に変換して MATLAB eig 関数を使用します。

例

固有値の計算

5 次の魔方陣の固有値を計算します。

A = sym(magic(5));
lambda = eig(A)

lambda = 
$$\left(\begin{array}{c}65\\ \sqrt{\frac{625}{2}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}}\\ \sqrt{\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}+\frac{625}{2}}\\ -\sqrt{\frac{625}{2}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}}\\ -\sqrt{\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{3145}}{2}+\frac{625}{2}}\end{array}\right)$$

高精度の数値としての固有値の計算

可変精度の演算を使用して 5 次の魔方陣行列の数値としての固有値を計算します。

A = magic(5);
lambda = eig(vpa(A))

lambda = 
$$\left(\begin{array}{c}65.0\\ 21.276765471473795530626426697974\\ 13.126280930709218802525643085949\\ -13.126280930709218802525643085949\\ -21.276765471473795530626426697974\end{array}\right)$$

シンボリックな固有値の浮動小数点への変換

6 次の魔方陣から 5 行 5 列のシンボリック行列を作成します。eig を使用して、行列の固有値を計算します。

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
lambda = eig(A)

lambda = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,1\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,2\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,3\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,4\right)\\ \mathrm{root}\left({\sigma }_1,z,5\right)\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=z^5-100\hspace{0.17em}{z}^4+134\hspace{0.17em}{z}^3+66537\hspace{0.17em}{z}^2-450198\hspace{0.17em}z-1294704\end{array}$$

関数 eig では、シンボリック数で正確な固有値を求めることができません。代わりに、関数 root でそれらを返します。

vpa を使用して固有値を数値的に近似します。

lambdaVpa = vpa(lambda)

lambdaVpa = 
$$\left(\begin{array}{c}-2.181032364984695108354692701065\\ 9.8395828502812312578803604206392\\ -25.131641669799891607267584639192\\ 26.341617610275869035465716505806\\ 91.131473574227486422276200413812\end{array}\right)$$

欠陥行列の固有値および固有ベクトルの計算

欠陥がある MATLAB® テスト行列の 1 つに対し、正確な固有値と固有ベクトルを計算します。

A = sym(gallery(5))

A = 
$$\left(\begin{array}{ccccc}-9& 11& -21& 63& -252\\ 70& -69& 141& -421& 1684\\ -575& 575& -1149& 3451& -13801\\ 3891& -3891& 7782& -23345& 93365\\ 1024& -1024& 2048& -6144& 24572\end{array}\right)$$

[V,D] = eig(A)

V = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{21}{256}\\ -\frac{71}{128}\\ \frac{973}{256}\\ 1\end{array}\right)$$

D = 
$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

出力 V は、5 分割の固有値が 0 となる 5 行 1 列のベクトルです。この結果は、行列 A が、代数的多重度が 5 で幾何学的多重度が 1 である値 0 の固有値をもつことを意味します。

線形独立な固有ベクトルとその固有値の求解

4 行 4 列のシンボリック行列の正確な固有値と固有ベクトルを計算します。線形独立な固有ベクトルに固有値を関連付けるインデックスのベクトルを返します。

syms c
A = [c 1 0 0; 0 c 0 0; 0 0 3*c 0; 0 0 0 3*c];
[V,D,p] = eig(A)

V = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

D = 
$$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

p = 1×3

     1     3     4

行列 A は 2 つの固有値 $\mathit{c}$ および $3\mathit{c}$ をもち、各固有値が 2 回登場します。一方、線形独立な固有ベクトルが 3 つ存在します。インデックスのベクトル p は次を表します。

• p(1) = 1。この場合、最初の固有ベクトル (V の最初の列) が、固有値 $\mathit{c}$ をもつ D の最初の対角要素に対応します。

• p(2) = 3。この場合、2 番目の固有ベクトル (V の 2 番目の列) が、固有値 $3\mathit{c}$ をもつ D の 3 番目の対角要素に対応します。

• p(3) = 4。この場合、3 番目の固有ベクトル (V の 3 番目の列) が、固有値 $3\mathit{c}$ をもつ D の 4 番目の対角要素に対応します。

この結果は、2 回登場する固有値 $\mathit{c}$ が線形独立な固有ベクトルを 1 つだけもつことを意味します (固有値 $\mathit{c}$ は代数的多重度が 2 で幾何学的多重度が 1)。2 回登場する固有値 $3\mathit{c}$ は、線形独立な固有ベクトルを 2 つもちます (固有値 $3\mathit{c}$ は代数的多重度が 2 で幾何学的多重度が 2)。

行列 A*V が V*D(p,p) と等価であることを示します。

A*V

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

V*D(p,p)

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 3\hspace{0.17em}c& 0\\ 0& 0& 3\hspace{0.17em}c\end{array}\right)$$

tf = isequal(A*V,V*D(p,p))

tf = logical
   1

入力引数

A — 正方行列

シンボリック行列

正方行列。シンボリック行列として指定します。

出力引数

lambda — 固有値 (ベクトルとして返される)

シンボリック列ベクトル | シンボリック数の列ベクトル

固有値。シンボリック列ベクトル、またはシンボリック数の列ベクトルとして返されます。

V — 右固有ベクトル

シンボリック正方行列

右固有ベクトル。シンボリック正方行列として返されます。V の各列は A の右固有ベクトルです。

D — 固有値 (行列として返される)

シンボリック対角行列

固有値。シンボリック対角行列として返されます。A の固有値は D の主対角上にあります。

p — インデックスのベクトル

シンボリック行ベクトル

インデックスのベクトル。シンボリック行ベクトルとして返されます。p の長さは、A の線形独立な固有ベクトルの合計数に等しくなります。

ヒント

• 多くのシンボリック変数が含まれる行列計算は低速になる可能性があります。計算速度を向上させるには、特定の値を変数に代入することでシンボリック変数の数を減らします。

• シンボリック オブジェクトではない数値行列 (sym、syms または vpa により作成されていない行列) で eig を呼び出すと、MATLAB 関数 eig が起動します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2021b: eig(A) は、関数 root で固有値を返す

eig(A) がシンボリック数で正確な固有値を求めることができない場合に、代わりに関数 root で正確な固有値を返すようになりました。以前のリリースでは、eig(A) は固有値を浮動小数点数で返します。

たとえば、5 行 5 列のシンボリック行列の固有値を計算します。関数 eig は、関数 root で正確な固有値を返します。この出力は、多項式の根を解くときに関数 solve または root によって返される結果と一致します。

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
lambda = eig(A)

lambda = 
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 1)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 2)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 3)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 4)
root(z^5 - 100*z^4 + 134*z^3 + 66537*z^2 - 450198*z - 1294704, z, 5)

vpa を使用して固有値を数値的に近似します。

lambdaVpa = vpa(lambda)

lambdaVpa =
 -2.181032364984695108354692701065
 9.8395828502812312578803604206392
-25.131641669799891607267584639192
 26.341617610275869035465716505806
 91.131473574227486422276200413812

参考

charpoly | jordan | svd | vpa

トピック

• 固有値