カスタム DC モーターの Simscape ライブラリのカスタマイズと拡張
Symbolic Math Toolbox™ を使用して、Simscape™ ライブラリ用のカスタム式ベースのコンポーネントを作成します。
はじめに
Symbolic Math Toolbox は、任意の空間次元において、工学第一原理からモデル開発を行うための柔軟な方法を提供しています。定常状態や過渡現象に関する数学モデルを開発できます。
コンポーネントに不可欠な物理特性を表す際に必要となる方程式を作成し、解を求めることができます。また、独自の低次元化されたモデルの、入力 x と対象となる量 f(x) との間のマッピングが可能です。
ここで、f は、次の形式で支配方程式を表すことができるカスタム コンポーネントです。
数式
ODE と PDE の数値シミュレーション
この例の手順は、以下です。
symReadSSCVariablesを使用した Simscape™ コンポーネントのパラメーター化diffを使用した Simscape コンポーネントのカスタム式の定義solveとsubsを使用した定常状態方程式の解析的な求解matlabFunctionとode45を使用した MATLAB® における時間依存方程式の数値的な求解symWriteSSCを使用した Simscape コンポーネントの作成
この例を実行するには、Simscape および Symbolic Math Toolbox のライセンスが必要です。
DC モーター モデル
DC モーターは電気エネルギーを機械エネルギーに (またその逆方向にも) 変換するデバイスです。DC モーターの概略図を以下に示します (左図)。DC モーターのシミュレーション ブロックはSimscape Electrical™ (右図) で与えられており、これは Simscape のオプション製品です。
この例では、支配方程式の常微分方程式 (ODE) を使用して DC モーターの低次元化モデル表現を導出します。DC モーターの電圧と電流はキルヒホッフの法則から、機械トルクの式はニュートンの法則から導かれます。これらの方程式を使用することで、カスタムのパラメトリックな Simscape コンポーネントを実装できます。
テンプレート コンポーネントのパラメーターと変数のインポート
現在のフォルダーまたは既定の MATLAB パスに Simscape コンポーネント MyMotorTemplate.ssc があるとします。このコンポーネントの方程式はまだありません。テンプレートにはモーターの開発に使用するパラメーターと変数が記録されています。type を使用すると、そのテンプレートのプレビューを表示できます。
type MyMotorTemplate.ssccomponent MyMotorTemplate
% Custom DC Motor
% This block implements a custom DC motor
nodes
p = foundation.electrical.electrical; % +:left
n = foundation.electrical.electrical; % -:left
r = foundation.mechanical.rotational.rotational; % R:right
c = foundation.mechanical.rotational.rotational; % C:right
end
parameters
R = {3.9, 'Ohm'}; %Armature resistance
L = {0.000012, 'H'}; %Armature inductance
J = {0.000001, 'kg*m^2'}; %Inertia
Dr = {0.000003, '(N*m*s)/rad'}; %Rotor damping
Ki = {0.000072, '(N*m)/A'}; %Torque constant
Kb = {0.000072, '(V*s)/rad'}; %Back-emf constant
end
variables
torque = {0, 'N*m'}; %Total Torque
tau = {0, 'N*m'}; %Electric Torque
w = {0, 'rad/s'}; %Angular Velocity
I = {0, 'A'}; %Current
V = {0, 'V'}; %Applied voltage
Vb = {0, 'V'}; %Counter electromotive force
end
branches
torque : r.t -> c.t; % Through variable tau from r to c
I : p.i -> n.i; % Through variable i from p to n
end
equations
assert(R>0);
w == r.w -c.w; % Across variable w from r to c
V == p.v -n.v; % Across variable v from p to n
end
end
テンプレート コンポーネントからパラメーターの名前、値および単位を読み取ります。
[parNames, parValues, parUnits] = symReadSSCParameters('MyMotorTemplate');パラメーター、その値および対応する単位をベクトルで表示します。
vpa([parNames; parValues; parUnits],10)
ans =
関数 syms を使用してパラメーター名を MATLAB ワークスペースに追加します。パラメーターはワークスペースでシンボリック変数として表示されます。who を使用すると、ワークスペースの変数のリストを表示できます。
syms(parNames) syms
Your symbolic variables are: Dr J Kb Ki L R ans
コンポーネント変数の名前を読み取って表示します。ReturnFunction を使用して、これらの変数を変数 t の関数に同時に変換します。
[varFuns, varValues, varUnits] = symReadSSCVariables('MyMotorTemplate', 'ReturnFunction', true); vpa([varFuns; varValues; varUnits],10)
ans =
関数 syms を使用して変数名を MATLAB ワークスペースに追加します。変数はワークスペースでシンボリック関数として表示されます。必要なすべてのシンボリック変数とシンボリック関数を syms で宣言したことを確認します。
syms(varFuns) syms
Your symbolic variables are: Dr I J Kb Ki L R V Vb ans t tau torque w
DC モーターをモデル化するための連立方程式の定義
機械トルクの微分方程式は、eq1 および eq2 のように定義されます。I(t) は電流、w(t) は角速度を表します。
eq1 = torque + J*diff(w(t)) == -Dr*w(t) + tau(t)
eq1(t) =
eq2 = tau(t) == Ki*I(t)
eq2 =
電圧と電流の方程式は、eq3 および eq4 です。V(t) および Vb(t) はそれぞれ印加電圧と逆起電力を表します。
eq3 = L*diff(I(t)) + R*I(t) == V(t) - Vb(t)
eq3 =
eq4 = Vb(t) == Kb*w(t)
eq4 =
これらをまとめてリストにできます。ここで、モーターのトルクは、電流に比例すると仮定します。
eqs = formula([eq1; eq2; eq3; eq4])
eqs =
方程式の左辺と右辺を抽出します。
operands = children(eqs);
operList = [ operands{:} ];
lhs = operList(1:2:end)lhs=1×4 cell array
{[J*diff(w(t), t) + torque(t)]} {[tau(t)]} {[L*diff(I(t), t) + R*I(t)]} {[Vb(t)]}
rhs = operList(2:2:end)
rhs=1×4 cell array
{[tau(t) - Dr*w(t)]} {[Ki*I(t)]} {[V(t) - Vb(t)]} {[Kb*w(t)]}
2 番目と 4 番目の方程式は、tau(t) と Vb(t) の値を定義します。4 つの連立方程式を 2 つの連立方程式に単純化するには、これらの値を 1 番目と 3 番目の方程式に代入します。
equations(1) = subs(eqs(1), lhs(2), rhs(2))
equations =
equations(2) = subs(eqs(3), lhs(4), rhs(4))
equations =
equations.'
ans =
方程式を解く前にパラメーターに数値を代入します。また、V(t) = 1 を使用します。
equations = subs(equations, [parNames,V(t)], [parValues,1]); equations = subs(equations, torque, 0); vpa(equations.',10)
ans =
定常状態の方程式の解法
ここでは、関数 w(t) と関数 I(t) の時間依存性を取り除きます。たとえば、それらにシンボリック変数 ww および ii を代入します。
syms ww ii equations_steady = subs(equations, [w(t),I(t)], [ww,ii]); result = solve(equations_steady,ww,ii); steadyStateW = vpa(result.ww,10)
steadyStateW =
steadyStateI = vpa(result.ii,10)
steadyStateI =
matlabFunction と ode45 を使用した MATLAB でのシンボリック式の数値的なシミュレーション
ode45 に有効な入力をシンボリック方程式から作成します。odeToVectorField を使用して、動的システム (初期条件 ) を表す MATLAB プロシージャを作成します。
[vfEquations, tVals] = odeToVectorField(equations)
vfEquations =
tVals =
M = matlabFunction(vfEquations,'Vars', {'t','Y'})
M = function_handle with value:
@(t,Y)[Y(1).*(-3.25e+5)-Y(2).*6.0+8.333333333333333e+4;Y(1).*7.2e+1-Y(2).*3.0]
初期条件 w(0) = 0 と I(0) = 0 を使用して微分方程式を解きます。
solution = ode45(M,[0 3],[0 0])
solution = struct with fields:
solver: 'ode45'
extdata: [1×1 struct]
x: [0 2.4114e-09 1.4468e-08 7.4754e-08 3.7618e-07 1.8833e-06 4.0507e-06 6.6351e-06 9.6952e-06 1.3333e-05 1.7740e-05 2.3237e-05 3.0371e-05 4.0045e-05 5.2842e-05 6.2514e-05 7.2187e-05 8.3013e-05 9.4295e-05 1.0467e-04 … ] (1×293775 double)
y: [2×293775 double]
stats: [1×1 struct]
idata: [1×1 struct]
t=[0.5,0.75,1] の時点で解を評価します。1 番目の値は電流 I(t)、2 番目の値は角速度 w(t) です。角速度の解が定常状態 steadyStateW に近づき始めていることがわかります。
deval(solution,0.5), deval(solution,.75), deval(solution,1)
ans = 2×1
0.2563
4.7795
ans = 2×1
0.2563
5.5034
ans = 2×1
0.2563
5.8453
steadyStateW
steadyStateW =
解をプロットします。
time = linspace(0,2.5); iValues = deval(solution, time, 1); wValues = deval(solution, time, 2); steadyStateValuesI = vpa(steadyStateI*ones(1,100),10); steadyStateValuesW = vpa(steadyStateW*ones(1,100),10); figure; plot1 = subplot(2,1,1); plot2 = subplot(2,1,2); plot(plot1, time, wValues, 'blue', time, steadyStateValuesW, '--red', 'LineWidth', 1) plot(plot2, time, iValues, 'green', time, steadyStateValuesI, '--red', 'LineWidth', 1) title(plot1, 'DC Motor - angular velocity') title(plot2, 'DC Motor - current') ylabel(plot1, 'Angular velocity [rad/s]') ylabel(plot2, 'Current [A]') xlabel(plot1, 'time [s]') xlabel(plot2, 'time [s]') legend(plot1, 'w(t)', 'w(t): steady state', 'Location', 'northeastoutside') legend(plot2, 'I(t)', 'I(t): steady state', 'Location', 'northeastoutside')
![Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title DC Motor - angular velocity, xlabel time [s], ylabel Angular velocity [rad/s] contains 2 objects of type line. These objects represent w(t), w(t): steady state. Axes object 2 with title DC Motor - current, xlabel time [s], ylabel Current [A] contains 2 objects of type line. These objects represent I(t), I(t): steady state.](../examples/symbolic/win64/createMotor_04.png)
Simscape で使用するための数学モデルの保存
作成した方程式 eqs を使用して Simscape コードを生成します。
symWriteSSC('MyMotor.ssc', 'MyMotorTemplate.ssc', eqs, ... 'H1Header', '% Custom DC Motor', ... 'HelpText', {'% This block implements a custom DC motor'})
生成されたコンポーネントを type コマンドで表示します。
type MyMotor.ssccomponent MyMotor
% Custom DC Motor
% This block implements a custom DC motor
nodes
p = foundation.electrical.electrical; % +:left
n = foundation.electrical.electrical; % -:left
r = foundation.mechanical.rotational.rotational; % R:right
c = foundation.mechanical.rotational.rotational; % C:right
end
parameters
R = {3.9, 'Ohm'}; %Armature resistance
L = {0.000012, 'H'}; %Armature inductance
J = {0.000001, 'kg*m^2'}; %Inertia
Dr = {0.000003, '(N*m*s)/rad'}; %Rotor damping
Ki = {0.000072, '(N*m)/A'}; %Torque constant
Kb = {0.000072, '(V*s)/rad'}; %Back-emf constant
end
variables
torque = {0, 'N*m'}; %Total Torque
tau = {0, 'N*m'}; %Electric Torque
w = {0, 'rad/s'}; %Angular Velocity
I = {0, 'A'}; %Current
V = {0, 'V'}; %Applied voltage
Vb = {0, 'V'}; %Counter electromotive force
end
branches
torque : r.t -> c.t; % Through variable tau from r to c
I : p.i -> n.i; % Through variable i from p to n
end
equations
assert(R>0);
w == r.w -c.w; % Across variable w from r to c
V == p.v -n.v; % Across variable v from p to n
torque+J*w.der == tau-Dr*w;
tau == Ki*I;
L*I.der+R*I == V-Vb;
Vb == Kb*w;
end
end
生成されたコンポーネントから Simscape ライブラリを作成します。
if ~isfolder('+MyLib') mkdir +MyLib; end copyfile MyMotor.ssc +MyLib; sscbuild MyLib;
Generating Simulink library 'MyLib_lib' in the current directory '/tmp/Bdoc25b_2988451_963910/tpe6ce5cc4/symbolic-ex98670381' ...
参考
関数
diff|subs|solve|matlabFunction|ode45|symReadSSCParameters|symReadSSCVariables|symWriteSSC
