besselh

シンボリック式の第 3 種ベッセル関数 (ハンケル関数)

R2018b 以降

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構文

H = besselh(nu,K,z)

H = besselh(nu,z)

H = besselh(nu,K,z,1)

説明

例

H = besselh(nu,K,z) はハンケル関数 $H_{ν}^{(K)} (z)$ を複素数配列 z の各要素に対して計算します。ここで、K = 1 または 2 です。いずれかの入力引数がシンボリックである場合、出力 H はシンボリックデータ型です。ベッセルの方程式を参照してください。

例

H = besselh(nu,z) は K = 1 を使用します。

例

H = besselh(nu,K,z,1) は $H_{ν}^{(K)} (z)$ を exp(-i*z) (K = 1 の場合) または exp(+i*z) (K = 2 の場合) でスケーリングします。

例

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ハンケル関数の計算

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シンボリック変数のハンケル関数を指定します。

syms z
H = besselh(3/2,1,z)

H = 
 $- \frac{\sqrt{2} e^{z i} (1 + \frac{i}{z})}{\sqrt{z} \sqrt{π}}$

関数を点 z = 1 + 2i でシンボリックおよび数値的に評価します。

Hval = subs(H,z,1+2i)

Hval = 
 $\frac{\sqrt{2} e^{- 2 + i} (- \frac{7}{5} - \frac{1}{5} i)}{\sqrt{1 + 2 i} \sqrt{π}}$

vpa(Hval)

ans =  $- 0.084953341280586443678471523210602 - 0.056674847869835575940327724800155 i$

2 番目の引数なし、K = 1 でこの引数なしで関数を指定します。

H2 = besselh(3/2,z)

H2 = 
 $- \frac{\sqrt{2} e^{z i} (1 + \frac{i}{z})}{\sqrt{z} \sqrt{π}}$

関数 H と H2 は同一であることに注意してください。

4 引数構文を使用することによって、 $e^{- i z}$ で関数をスケーリングします。

Hnew = besselh(3/2,1,z,1)

Hnew = 
 $- \frac{\sqrt{2} (1 + \frac{i}{z})}{\sqrt{z} \sqrt{π}}$

H の導関数を求めます。

diffH = diff(H)

diffH = 
 $\frac{\sqrt{2} e^{z i} i}{z^{5 / 2} \sqrt{π}} - \frac{\sqrt{2} e^{z i} (1 + \frac{i}{z}) i}{\sqrt{z} \sqrt{π}} + \frac{\sqrt{2} e^{z i} (1 + \frac{i}{z})}{2 z^{3 / 2} \sqrt{π}}$

入力引数

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`nu` — ハンケル関数の次数
シンボリック配列 | double 配列

ハンケル関数の次数。シンボリック配列または double 配列として指定します。nu と z が同じサイズの配列である場合、結果もそのサイズです。いずれかの入力がスカラーの場合、besselh により、その入力はもう一方の入力のサイズに拡張されます。

例: nu = 3*sym(pi)/2

`K` — ハンケル関数の種類
シンボリックの 1 または 2 | double の 1 または 2

ハンケル関数の種類。シンボリックまたは double の 1 または 2 として指定します。K は追加ベッセル関数 Y の符号を識別します。

$\begin{array}{l} H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z) \\ H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z) . \end{array}$

例: K = sym(2)

`z` — ハンケル関数の引数
シンボリック配列 | double 配列

ハンケル関数の引数。シンボリック配列または double 配列として指定します。nu と z が同じサイズの配列である場合、結果もそのサイズです。いずれかの入力がスカラーの場合、besselh により、その入力はもう一方の入力のサイズに拡張されます。

例: z = sym(1+1i)

詳細

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ベッセルの方程式

微分方程式

$z^{2} \frac{d^{2} w}{d z^{2}} + z \frac{d w}{d z} + (z^{2} - ν^{2}) w = 0,$

(ν は実数の定数) は、"ベッセルの方程式" と呼ばれ、その解が "ベッセル関数" です。

J_ν(z) および J_–ν(z) は非整数の ν に対するベッセルの方程式の基本解セットを形成します。Y_ν(z) は以下で定義されるベッセルの方程式の第 2 の解で、J_ν(z) と線形独立です。

$Y_{ν} (z) = \frac{J_{ν} (z) \cos (ν π) - J_{- ν} (z)}{\sin (ν π)} .$

ハンケル関数とベッセル関数の関係は次のとおりです。

$\begin{array}{l} H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z) \\ H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z) . \end{array}$

ここで、J_ν(z) は besselj で、Y_ν(z) は bessely です。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965.