besselh

シンボリック式の第 3 種ベッセル関数 (ハンケル関数)

構文

H = besselh(nu,K,z)

H = besselh(nu,z)

H = besselh(nu,K,z,1)

説明

H = besselh(nu,K,z) はハンケル関数 $$H_{\nu }^{(K)}(z)$$ を複素数配列 z の各要素に対して計算します。ここで、K = 1 または 2 です。いずれかの入力引数がシンボリックである場合、出力 H はシンボリック データ型です。ベッセルの方程式を参照してください。

H = besselh(nu,z) は K = 1 を使用します。

H = besselh(nu,K,z,1) は $$H_{\nu }^{(K)}(z)$$ を exp(-i*z) (K = 1 の場合) または exp(+i*z) (K = 2 の場合) でスケーリングします。

例

ハンケル関数の計算

シンボリック変数のハンケル関数を指定します。

syms z
H = besselh(3/2,1,z)

H = 
$$-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{z}\right)}{\sqrt{z}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

関数を点 z = 1 + 2i でシンボリックおよび数値的に評価します。

Hval = subs(H,z,1+2i)

Hval = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-2+\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(-\frac{7}{5}-\frac{1}{5}\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)}{\sqrt{1+2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

vpa(Hval)

ans = $$-0.084953341280586443678471523210602-0.056674847869835575940327724800155\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

2 番目の引数なし、K = 1 でこの引数なしで関数を指定します。

H2 = besselh(3/2,z)

H2 = 
$$-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{z}\right)}{\sqrt{z}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

関数 H と H2 は同一であることに注意してください。

4 引数構文を使用することによって、$$e^{-iz}$$ で関数をスケーリングします。

Hnew = besselh(3/2,1,z,1)

Hnew = 
$$-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{z}\right)}{\sqrt{z}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

H の導関数を求めます。

diffH = diff(H)

diffH = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{z^{5/2}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{z}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{\sqrt{z}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{z\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\hspace{0.17em}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{z}\right)}{2\hspace{0.17em}{z}^{3/2}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }}$$

入力引数

nu — ハンケル関数の次数

シンボリック配列 | double 配列

ハンケル関数の次数。シンボリック配列または double 配列として指定します。nu と z が同じサイズの配列である場合、結果もそのサイズです。いずれかの入力がスカラーの場合、besselh により、その入力はもう一方の入力のサイズに拡張されます。

例: nu = 3*sym(pi)/2

K — ハンケル関数の種類

シンボリックの 1 または 2 | double の 1 または 2

ハンケル関数の種類。シンボリックまたは double の 1 または 2 として指定します。K は追加ベッセル関数 Y の符号を識別します。

$$\begin{array}{l}{H}_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+i{Y}_{\nu }(z)\\ H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-i{Y}_{\nu }(z).\end{array}$$

例: K = sym(2)

z — ハンケル関数の引数

シンボリック配列 | double 配列

ハンケル関数の引数。シンボリック配列または double 配列として指定します。nu と z が同じサイズの配列である場合、結果もそのサイズです。いずれかの入力がスカラーの場合、besselh により、その入力はもう一方の入力のサイズに拡張されます。

例: z = sym(1+1i)

詳細

ベッセルの方程式

微分方程式

$$z^2\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+z\frac{dw}{dz}+\left(z^2-{\nu }^2\right)w=0,$$

(ν は実数の定数) は、"ベッセルの方程式" と呼ばれ、その解が "ベッセル関数" です。

J_ν(z) および J_–ν(z) は非整数の ν に対するベッセルの方程式の基本解セットを形成します。Y_ν(z) は以下で定義されるベッセルの方程式の第 2 の解で、J_ν(z) と線形独立です。

$$Y_{\nu }(z)=\frac{J_{\nu }(z)\cos (\nu \pi )-J_{-\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}.$$

ハンケル関数とベッセル関数の関係は次のとおりです。

$$\begin{array}{l}{H}_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+i{Y}_{\nu }(z)\\ H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-i{Y}_{\nu }(z).\end{array}$$

ここで、J_ν(z) は besselj で、Y_ν(z) は bessely です。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965.

バージョン履歴

R2018b で導入

参考

besseli | besselj | besselk | bessely