複合対称性仮定とイプシロン補正

応答変数の理論的な分布に複合対称性がある場合、反復測定 ANOVA (ranova) において通常の p 値は正しく計算されます。つまり、すべての応答変数の分散が同じであり、すべての組の応答変数も共通の相関をもっています。つまり、

$$\Sigma ={\sigma }^2\left(\begin{array}{cccc}1& \rho & \cdots & \rho \\ \rho & 1& \cdots & \rho \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \rho & \rho & \cdots & 1\end{array}\right).$$

複合対称性仮定では、反復測定 ANOVA テーブルの F 統計量には自由度 (v₁、v₂) をもつ F 分布が存在します。ここで、v₁ は検定対象の対比の順位で、v₂ は誤差自由度です。複合対称性仮定が真でない場合、F 統計量には自由度 (εv₁ および εv₂、ε は補正係数) がある近似 F 分布が存在します。その後、調整後の値を使用して p 値を計算しなければなりません。補正係数の計算方法には次の 3 とおりがあります。

• グリーンハウス・ガイザー推定

  $${\epsilon }_{GG}=\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^p{\lambda }_i}\right)}^2}{d{\displaystyle \sum _{i=1}^p{\lambda }_i^2}},$$

  ここで、λ_i は共分散行列の固有値 (i = 1, 2, .., p)、p は変数の数、d は p-1 に等しい値です。

• ヒューン・フェルト推定

  $${\epsilon }_{HF}=\min \left(1,\frac{nd{\epsilon }_{GG}-2}{d\left(n-rx\right)-d^2{\epsilon }_{GG}}\right),$$

  ここで、n は計画行列の行数、r は計画行列のランクです。

• 真の p 値の下限

  $${\epsilon }_{LB}=\frac{1}{d}.$$

参照

[1] Huynh, H., and L. S. Feldt. “Estimation of the Box Correction for Degrees of Freedom from Sample Data in Randomized Block and Split-Plot Designs.” Journal of Educational Statistics. Vol. 1, 1976, pp. 69–82.

[2] Greenhouse, S. W., and S. Geisser. “An Extension of Box’s Result on the Use of F-Distribution in Multivariate Analysis.” Annals of Mathematical Statistics. Vol. 29, 1958, pp. 885–891.

参考

ranova | epsilon | mauchly

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• モークリーの球面性の検定