rotmat

四元数の回転行列への変換

構文

rotationMatrix = rotmat(quat,rotationType)

説明

rotationMatrix = rotmat(quat,rotationType) は、四元数 quat を等価の回転行列表現に変換します。

例

四元数の回転行列への変換 (点の回転)

点の回転に使用する四元数を定義します。

theta = 45;
gamma = 30;
quat = quaternion([0,theta,gamma],"eulerd","ZYX","point")

quat = quaternion
       0.8924 +  0.23912i +  0.36964j + 0.099046k

四元数を回転行列に変換します。

rotationMatrix = rotmat(quat,"point")

rotationMatrix = 3×3

    0.7071   -0.0000    0.7071
    0.3536    0.8660   -0.3536
   -0.6124    0.5000    0.6124

回転行列を検証するには、y 軸および x 軸を中心とした回転に対応する 2 つの回転行列を直接作成します。回転行列を乗算して、rotmat の出力と比較します。

theta = 45;
gamma = 30;

ry = [cosd(theta)   0           sind(theta) ; ...
      0             1           0           ; ...
     -sind(theta)   0           cosd(theta)];
 
rx = [1             0           0           ;      ...
      0             cosd(gamma) -sind(gamma) ;     ...
      0             sind(gamma) cosd(gamma)];

rotationMatrixVerification = rx*ry

rotationMatrixVerification = 3×3

    0.7071         0    0.7071
    0.3536    0.8660   -0.3536
   -0.6124    0.5000    0.6124

四元数の回転行列への変換 (座標系の回転)

座標系の回転に使用する四元数を定義します。

theta = 45;
gamma = 30;
quat = quaternion([0,theta,gamma],"eulerd","ZYX","frame")

quat = quaternion
       0.8924 +  0.23912i +  0.36964j - 0.099046k

四元数を回転行列に変換します。

rotationMatrix = rotmat(quat,"frame")

rotationMatrix = 3×3

    0.7071   -0.0000   -0.7071
    0.3536    0.8660    0.3536
    0.6124   -0.5000    0.6124

回転行列を検証するには、y 軸および x 軸を中心とした回転に対応する 2 つの回転行列を直接作成します。回転行列を乗算して、rotmat の出力と比較します。

theta = 45;
gamma = 30;

ry = [cosd(theta)   0           -sind(theta) ; ...
      0             1           0           ; ...
     sind(theta)   0           cosd(theta)];
 
rx = [1             0           0           ;      ...
      0             cosd(gamma) sind(gamma) ;     ...
      0             -sind(gamma) cosd(gamma)];

rotationMatrixVerification = rx*ry

rotationMatrixVerification = 3×3

    0.7071         0   -0.7071
    0.3536    0.8660    0.3536
    0.6124   -0.5000    0.6124

quaternion ベクトルの回転行列への変換

3 行 1 列の正規化された quaternion ベクトルを作成します。

qVec = normalize(quaternion(randn(3,4)));

quaternion 配列を回転行列に変換します。rotmatArray のページは、qVec の線形インデックスに対応します。

rotmatArray = rotmat(qVec,"frame");

qVec と rotmatArray が回転のシーケンスに対応すると仮定します。複数の四元数回転を単一の表現に統合してから、任意に初期化した直交座標点に四元数回転を適用します。

loc = normalize(randn(1,3));
quat = prod(qVec);
rotateframe(quat,loc)

ans = 1×3

    0.9524    0.5297    0.9013

複数の回転行列を単一の表現に統合してから、同じ初期直交座標点に回転行列を適用します。四元数回転と回転行列の結果を同じ方向で検証します。

totalRotMat = eye(3);
for i = 1:size(rotmatArray,3)
    totalRotMat = rotmatArray(:,:,i)*totalRotMat;
end
totalRotMat*loc'

ans = 3×1

    0.9524
    0.5297
    0.9013

入力引数

quat — 変換する四元数

quaternion オブジェクト | quaternion オブジェクトの配列

変換する四元数。quaternion オブジェクト、または任意の次元の quaternion オブジェクトの配列として指定します。

rotationType — 回転のタイプ

"frame" | "point"

rotationMatrix 出力によって表現される回転のタイプ。"frame" または "point" として指定します。

データ型: char | string

出力引数

rotationMatrix — 回転行列の表現

3 行 3 列の数値行列 | 3×3×N の数値配列

回転行列の表現。3 行 3 列の数値行列または 3×3×N の数値配列として返されます。

• quat がスカラーの場合、rotationMatrix は 3 行 3 列の行列として返されます。

• quat が非スカラーの場合、rotationMatrix は 3×3×N の配列として返されます。ここで rotationMatrix(:,:,i) は、quat(i) に対応する回転行列です。

回転行列のデータ型は、quat の基となるデータ型と同じです。

データ型: single | double

アルゴリズム

次の形式の四元数を考えます。

$$q=a+bi+cj+dk,$$

座標系の回転に対応する等価の回転行列は次のように定義されます。

$$\left[\begin{array}{ccc}2a^2-1+2b^2& 2bc+2ad& 2bd-2ac\\ 2bc-2ad& 2a^2-1+2c^2& 2cd+2ab\\ 2bd+2ac& 2cd-2ab& 2a^2-1+2d^2\end{array}\right].$$

点の回転に対応する等価の回転行列は、座標系の回転行列の転置です。

$$\left[\begin{array}{ccc}2a^2-1+2b^2& 2bc-2ad& 2bd+2ac\\ 2bc+2ad& 2a^2-1+2c^2& 2cd-2ab\\ 2bd-2ac& 2cd+2ab& 2a^2-1+2d^2\end{array}\right].$$

参照

[1] Kuipers, Jack B. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

参考

関数

• rotvec | rotvecd | euler | eulerd

オブジェクト

• quaternion