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範囲制約および範囲付きの前提条件子を使った最小化

この例では、fmincon trust-region-reflective アルゴリズムを使用して、範囲のある非線形問題を解く方法を説明します。このアルゴリズムは、問題がスパースである場合に効率性を高めるための対策、解析勾配、およびヘッシアンのパターンなどの既知の構造を備えています。

勾配のある目的関数

与えられた n が 4 の倍数である正の数のとき、目的関数は次のようになります。

f(x)=1+i=1n|(3-2xi)xi-xi-1-xi+1+1|p+i=1n/2|xi+xi+n/2|p,

ここで、p=7/3x0=0、および xn+1=0 です。関数 tbroy (この例の終わりに掲載) は、その勾配を含む目的関数を実装するものです。

この問題では、すべての i について -10xi10 という範囲があります。n = 800 を使用します。

n = 800;
lb = -10*ones(n,1);
ub = -lb;

ヘッシアンのパターン

ヘッセ行列のスパース パターンは事前定義され、ファイル tbroyhstr.mat に保存されています。この問題のヘッシアンに関するスパース構造は、次の spy プロットのように縞模様になっています。

load tbroyhstr
spy(Hstr)

このプロットでは、中央のストライプは、5 つの縞模様の行列です。以下のプロットは、行列をより明示的に示します。

spy(Hstr(1:20,1:20))

問題のオプション

trust-region-reflective アルゴリズムを使用するためのオプションを設定します。このアルゴリズムでは、SpecifyObjectiveGradient オプションを true に設定する必要があります。

また、optimoptions を使用して HessPattern オプションを Hstr に設定してください。この問題と同じ規模の問題が明らかにスパース構造をもつ場合、HessPattern オプションを設定しないと、不必要に膨大なメモリと計算量を必要とします。これは fmincon が 640,000 の非ゼロ要素をもつ非スパースなヘッセ行列に有限差分を使おうとするために起こります。

options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true,'HessPattern',Hstr,...
    'Algorithm','trust-region-reflective');

問題を解く

初期点として奇数インデックスに対して -1 を設定し、偶数インデックスに対して +1 を設定します。

x0 = -ones(n,1);
x0(2:2:n) = 1;

線形制約または非線形制約がないため、これらのパラメーターを [] に設定します。

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
nonlcon = [];

fmincon を呼び出してこの問題を解きます。

[x,fval,exitflag,output] = ... 
   fmincon(@tbroyfg,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
Local minimum possible.

fmincon stopped because the final change in function value relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

解および解法プロセスの検証

終了フラグ、目的関数値、1 次の最適性の尺度、およびソルバーの反復回数を検証します。

disp(exitflag);
     3
disp(fval)
  270.4790
disp(output.firstorderopt)
    0.0163
disp(output.iterations)
     7

fmincon が解に到達するまでの反復回数は、それほど多くはありませんでした。ただし、この解は 1 次の最適性の尺度が比較的高いため、終了フラグはより望ましい値である 1 ではありません。

解の改善

既定の対角型の前提条件子の代わりに、5 つの縞模様の前提条件子を使用してみてください。optimoptions を使用し、PrecondBandWidth オプションを 2 に設定して、再度問題を解きます。帯域幅 は、主対角をカウントせず、上 (または下) 対角の数です。

options.PrecondBandWidth = 2;
[x2,fval2,exitflag2,output2] = ... 
   fmincon(@tbroyfg,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
Local minimum possible.

fmincon stopped because the final change in function value relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.
disp(exitflag2);
     3
disp(fval2)
  270.4790
disp(output2.firstorderopt)
   7.5340e-05
disp(output2.iterations)
     9

終了フラグと目的関数値に変化は見られません。しかし、反復回数は増加しており、1 次の最適性の尺度は大きく減少しました。目的関数値の差を計算します。

disp(fval2 - fval)
  -2.9005e-07

目的関数値は少ししか減少していません。この解で改善したのは 1 次の最適性の尺度のみであり、目的関数は改善していません。

補助関数

このコードは関数 tbroy を作成します。

function [f,grad] = tbroyfg(x,dummy)
%TBROYFG Objective function and its gradients for nonlinear minimization
% with bound constraints and banded preconditioner.
% Documentation example.

%   Copyright 1990-2008 The MathWorks, Inc.

n = length(x);  % n should be a multiple of 4
p = 7/3;
y=zeros(n,1);
i = 2:(n-1);
y(i) = abs((3-2*x(i)).*x(i) - x(i-1) - x(i+1)+1).^p;
y(n) = abs((3-2*x(n)).*x(n) - x(n-1)+1).^p;
y(1) = abs((3-2*x(1)).*x(1) - x(2)+1).^p;
j = 1:(n/2);
z = zeros(length(j),1);
z(j) = abs(x(j) + x(j+n/2)).^p;
f = 1 + sum(y) + sum(z);
%
% Evaluate the gradient.
if nargout > 1
   g = zeros(n,1);
   t = zeros(n,1);
   i = 2:(n-1);
   t(i) = (3-2*x(i)).*x(i) - x(i-1) - x(i+1) + 1;
   g(i) = p*abs(t(i)).^(p-1).*sign(t(i)).*(3-4*x(i));
   g(i-1) = g(i-1) - p*abs(t(i)).^(p-1).*sign(t(i));
   g(i+1) = g(i+1) - p*abs(t(i)).^(p-1).*sign(t(i));
   tt = (3-2*x(n)).*x(n) - x(n-1) + 1;
   g(n) = g(n) + p*abs(tt).^(p-1).*sign(tt).*(3-4*x(n));
   g(n-1) = g(n-1) - p*abs(tt).^(p-1).*sign(tt);
   tt = (3-2*x(1)).*x(1)-x(2)+1;
   g(1) = g(1) + p*abs(tt).^(p-1).*sign(tt).*(3-4*x(1));
   g(2) = g(2) - p*abs(tt).^(p-1).*sign(tt);
   j = 1:(n/2);
   t(j) = x(j) + x(j+n/2);
   g(j) = g(j) + p*abs(t(j)).^(p-1).*sign(t(j));
   jj = j + (n/2);
   g(jj) = g(jj) + p*abs(t(j)).^(p-1).*sign(t(j));
   grad = g;
end
end