定数の遅延をもつ DDE

この例では、dde23 を使用して定数の遅延を伴う DDE (遅延微分方程式) 系の解を求める方法を説明します。

方程式系は次のとおりです。

$$\begin{array}{l}{{\mathit{y}}_1}^{\prime }\left(\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_1\left(\mathit{t}-1\right)\\ {{\mathit{y}}_2}^{\prime }\left(\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_1\left(\mathit{t}-1\right)+{\mathit{y}}_2\left(\mathit{t}-0.2\right)\\ {{\mathit{y}}_3}^{\prime }\left(\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_2\left(\mathit{t}\right).\end{array}$$

$\mathit{t}\le 0$ の履歴関数は定数 ${\mathit{y}}_1\left(\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_2\left(\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_3\left(\mathit{t}\right)=1$ です。

方程式の時間遅延は $\mathit{y}$ の項にのみ存在し、遅延自体は定数であるため、方程式は "定数遅延" の方程式系を形成します。

MATLAB® でこの方程式系を解くには、定数遅延をもつ方程式系に適した遅延微分方程式ソルバー dde23 を呼び出す前に、方程式、遅延、および履歴をコード化する必要があります。(ここで行ったように) 必要な関数をファイルの最後にローカル関数として含めることも、あるいは個別の名前付きファイルとして MATLAB パスのディレクトリに保存することもできます。

遅延のコード化

最初に、ベクトルを作成して方程式系の遅延を定義します。この方程式系には 2 つの異なる遅延があります。つまり、

• 最初の要素 $${\mathit{y}}_1\left(\mathit{t}-1\right)$$ における遅延 1 と、

• 2 番目の要素 $${\mathit{y}}_2\left(\mathit{t}-0.2\right)$$ における遅延 0.2 です。

dde23 は遅延のベクトル引数を受け入れ、その各要素は 1 つの要素の定数遅延に該当します。

lags = [1 0.2];

方程式のコード化

ここで、方程式をコード化する関数を作成します。この関数にはシグネチャ dydt = ddefun(t,y,Z) がなければなりません。ここでは以下のようになります。

• t は時間 (独立変数) です。

• y は解 (従属変数) です。

• Z(:,j) は遅延 $\mathit{y}\left(\mathit{t}-{\tau }_{\mathit{j}}\right)$ を近似します。ここで、定数遅延 ${\tau }_{\mathit{j}}$ は lags(j) によって与えられます。

これらの入力はソルバーによって自動的に関数に渡されますが、変数名によって方程式のコード化方法が決まります。この場合、

• Z(:,1)$\to {\mathit{y}}_1\left(\mathit{t}-1\right)$

• Z(:,2)$\to {\mathit{y}}_2\left(\mathit{t}-0.2\right)$

function dydt = ddefun(t,y,Z)
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end

メモ: 関数はすべて例の最後にローカル関数として含まれます。

解の履歴のコード化

次に、解の履歴を定義する関数を作成します。解の履歴は時間 $\mathit{t}\le {\mathit{t}}_0$ での解です。

function s = history(t)
  s = ones(3,1);
end

方程式の求解

最後に、積分区間 $\left[{\mathit{t}}_0{\mathit{t}}_{\mathit{f}}\right]$ を定義し、dde23 ソルバーを使用して DDE を解きます。

tspan = [0 5];
sol = dde23(@ddefun, lags, @history, tspan);

解のプロット

解の構造体 sol には sol.x フィールドと sol.y フィールドがあり、ソルバーが受け入れる内部タイム ステップと、その時間に対応する解が含まれます (特定の点での解が必要な場合、deval を使用して特定の点での解を評価することができます)。

3 つの解要素を時間に対してプロットします。

plot(sol.x,sol.y,'-o')
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

ローカル関数

ここでは、DDE ソルバー dde23 が解を計算するために呼び出すローカル補助関数を紹介しています。あるいは、これらの関数を独自のファイルとして MATLAB パスのディレクトリに保存することもできます。

function dydt = ddefun(t,y,Z) % equation being solved
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end
%-------------------------------------------
function s = history(t) % history function for t <= 0
  s = ones(3,1);
end
%-------------------------------------------

参考

dde23 | ddesd | ddensd | deval

関連するトピック

• 遅延微分方程式の求解
• 状態依存の遅延をもつ DDE