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System Identification Toolbox を使用したプロセス モデルの構築と推定
この例では、System Identification Toolbox™ を使用して、シンプルなプロセス モデルを構築する方法を説明します。このようなモデルを作成し、実験データを使用してそのパラメーターを推定する手法を説明します。この例では Simulink® が必要です。
はじめに
この例では、プロセス業界で一般的に使用されるシンプルなプロセス モデルを構築する方法について説明します。プロセス動作を記述するには、通常、シンプルで低次数の連続時間伝達関数を使用します。このようなモデルは、伝達関数を極-零点-ゲインの形式で表す IDPROC オブジェクトを使用して記述できます。
プロセス モデルは、基本タイプ "静的ゲイン + 時定数 + 時間遅延" となります。以下のように、表現できます。
あるいは、積分プロセスとして表現されます:
ここで、ユーザーは、実極数 (0、1、2 または 3)、分子での零点の存在、積分器項の存在 (1/s)、および時間遅延の存在 (Td) を設定できます。また、極の不足減衰 (複素数) ペアを実極と置き換えることができます。
IDPROC オブジェクトを使用したプロセス モデルの表現
IDPROC オブジェクトは、文字 P (プロセス モデル)、D (時間遅延)、Z (零点) および I (積分器) を使用してプロセス モデルを定義します。整数は、極数を示します。モデルは、これらの文字で作成された文字ベクトルを含む idproc を呼び出して生成されます。
以下に例を示します。
idproc('P1') % transfer function with only one pole (no zeros or delay) idproc('P2DIZ') % model with 2 poles, delay integrator and delay idproc('P0ID') % model with no poles, but an integrator and a delay
ans =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ----------
1+Tp1*s
Kp = NaN
Tp1 = NaN
Parameterization:
{'P1'}
Number of free coefficients: 2
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Created by direct construction or transformation. Not estimated.
ans =
Process model with transfer function:
1+Tz*s
G(s) = Kp * ------------------- * exp(-Td*s)
s(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = NaN
Tp1 = NaN
Tp2 = NaN
Td = NaN
Tz = NaN
Parameterization:
{'P2DIZ'}
Number of free coefficients: 5
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Created by direct construction or transformation. Not estimated.
ans =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = --- * exp(-Td*s)
s
Kp = NaN
Td = NaN
Parameterization:
{'P0DI'}
Number of free coefficients: 2
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Created by direct construction or transformation. Not estimated.
IDPROC オブジェクトの作成 (Simulink モデルを例として使用)
以下の Simulink モデルで記述されるシステムを見てみましょう。
open_system('iddempr1') set_param('iddempr1/Random Number','seed','0')
赤い部分はシステム、青い部分はコントローラー、基準信号はスイープ正弦波 (チャープ信号) です。データのサンプル時間は 0.5 秒に設定されます。前述のように、システムは連続時間伝達関数であり、idss、idpoly または idproc など、System Identification Toolbox のモデル オブジェクトを使用して記述できます。
idpoly および idproc オブジェクトを使用して、システムを記述してみます。idpoly オブジェクトを使用して、システムは以下のように記述できます。
m0 = idpoly(1,0.1,1,1,[1 0.5],'Ts',0,'InputDelay',1.57,'NoiseVariance',0.01);
上記のような IDPOLY 形式の使用は、任意の次数の伝達関数を記述するときに便利です。ここで検討しているシステムは、非常にシンプルで (1 極、零点なし)、連続時間であるため、よりシンプルな IDPROC オブジェクトを使用してそのダイナミクスを捕捉できます。
m0p = idproc('p1d','Kp',0.2,'Tp1',2,'Td',1.57) % one pole+delay, with initial values % for gain, pole and delay specified.
m0p =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ---------- * exp(-Td*s)
1+Tp1*s
Kp = 0.2
Tp1 = 2
Td = 1.57
Parameterization:
{'P1D'}
Number of free coefficients: 3
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Created by direct construction or transformation. Not estimated.
IDPROC モデルのパラメーターの推定
システムを、IDPROC などのモデル オブジェクトで記述したら、測定データを使用して、そのパラメーターの推定に使用できます。例として、シミュレーション データを使用して、Simulink モデルのシステム (赤い部分) のパラメーターを推定するときの問題を考えてみます。推定に使用するデータをまず取得します。
sim('iddempr1') dat1e = iddata(y,u,0.5); % The IDDATA object for storing measurement data
データをよく見てください。
plot(dat1e)
IDPROC モデルを作成するときに指定したのと同じ構造情報に基づいて、procest コマンドを使ってプロセス モデルを特定できます。たとえば、1 極 + 遅延モデルは、以下のように procest を呼び出して推定できます。
m1 = procest(dat1e,'p1d'); % estimation of idproc model using data 'dat1e'. % Check the result of estimation: m1
m1 =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ---------- * exp(-Td*s)
1+Tp1*s
Kp = 0.20045
Tp1 = 2.0431
Td = 1.499
Parameterization:
{'P1D'}
Number of free coefficients: 3
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat1e".
Fit to estimation data: 87.34%
FPE: 0.01069, MSE: 0.01062
To get information about uncertainties, use
present(m1)
m1 =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ---------- * exp(-Td*s)
1+Tp1*s
Kp = 0.20045 +/- 0.00077275
Tp1 = 2.0431 +/- 0.061216
Td = 1.499 +/- 0.040854
Parameterization:
{'P1D'}
Number of free coefficients: 3
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Termination condition: Near (local) minimum, (norm(g) < tol)..
Number of iterations: 4, Number of function evaluations: 9
Estimated using PROCEST on time domain data "dat1e".
Fit to estimation data: 87.34%
FPE: 0.01069, MSE: 0.01062
More information in model's "Report" property.
モデル パラメーター K、Tp1、および Td と、標準偏差 1 の不確かさの範囲を示します。
IDPROC モデルの時間および周波数応答の算出
前述のように推定した m1 は、すべてのツールボックスのモデル コマンドを適用できる IDPROC モデル オブジェクトです。
step(m1,m0) %step response of models m1 (estimated) and m0 (actual) legend('m1 (estimated parameters)','m0 (known parameters)','location','northwest')
信頼領域が標準偏差 3 に対応するボード応答は、以下のように算出できます。
h = bodeplot(m1,m0); showConfidence(h,3)
同様に、以下のように compare を使用して、測定データをモデル出力と比較できます。
compare(dat1e,m0,m1)
sim、impulse、c2d などの処理も、他のモデル オブジェクトと同じように使用できます。
bdclose('iddempr1')
推定でサンプル間動作の作用の適応
入力データのサンプル間動作を評価することが (少なくともスロー サンプリングの場合) 重要となることがあります。これを理解するため、前述と同じシステムを、サンプル アンド ホールド回路なしで確認します。
open_system('iddempr5')
このシステムを同じサンプル時間でシミュレートします。
sim('iddempr5') dat1f = iddata(y,u,0.5); % The IDDATA object for the simulated data
data1f を使用して IDPROC モデルを推定し、許容される値の遅延の上限も設定します。検索方法として "lm" を使用し、さらに推定の進捗状況を表示します。
m2_init = idproc('P1D'); m2_init.Structure.Td.Maximum = 2; opt = procestOptions('SearchMethod','lm','Display','on'); m2 = procest(dat1f,m2_init,opt); m2
m2 =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ---------- * exp(-Td*s)
1+Tp1*s
Kp = 0.20038
Tp1 = 2.01
Td = 1.31
Parameterization:
{'P1D'}
Number of free coefficients: 3
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat1f".
Fit to estimation data: 87.26%
FPE: 0.01067, MSE: 0.01061
このモデルは、以前のモデル m1 よりも遅延の推定の精度が若干低くなっています。
[m0p.Td, m1.Td, m2.Td] step(m0,m1,m2) legend('m0 (actual)','m1 (estimated with ZOH)','m2 (estimated without ZOH)','location','southeast')
ans =
1.5700 1.4990 1.3100
ただし、サンプル間動作が 1 次ホールド (実連続の近似値) 入力である推定プロセスを見ると、さらに改善が見込めます。
dat1f.InterSample = 'foh';
m3 = procest(dat1f,m2_init,opt);
4 つのモデル m0 (実)、m1 (zoh 入力から取得)、m2 (連続入力から取得、zoh 想定)、および m3 (同じ入力から取得、ただし foh 想定) を比較します。
[m0p.Td, m1.Td, m2.Td, m3.Td] compare(dat1e,m0,m1,m2,m3)
ans =
1.5700 1.4990 1.3100 1.5570
step(m0,m1,m2,m3) legend('m0','m1','m2','m3') bdclose('iddempr5')
閉ループで動作するシステムのモデル化
ここでは、閉ループで動作する、統合による複雑なプロセスを検討します。
open_system('iddempr2')
真のシステムは、以下のように表現できます。
m0 = idproc('P2ZDI','Kp',1,'Tp1',1,'Tp2',5,'Tz',3,'Td',2.2);
プロセスは制限された入力振幅と 0 次ホールド デバイス付きの PD 制御器により制御されます。サンプル時間は 1 秒です。
set_param('iddempr2/Random Number','seed','0') sim('iddempr2') dat2 = iddata(y,u,1); % IDDATA object for estimation
1 つは推定、もう 1 つは検証のため、異なる 2 つのシミュレーションを行います。
set_param('iddempr2/Random Number','seed','13') sim('iddempr2') dat2v = iddata(y,u,1); % IDDATA object for validation purpose
データをご覧ください (推定と検証)。
plot(dat2,dat2v) legend('dat2 (estimation)','dat2v (validation)')
dat2 を使用して、推定を行います。
Warn = warning('off','Ident:estimation:underdampedIDPROC'); m2_init = idproc('P2ZDI'); m2_init.Structure.Td.Maximum = 5; m2_init.Structure.Tp1.Maximum = 2; opt = procestOptions('SearchMethod','lsqnonlin','Display','on'); opt.SearchOptions.MaxIterations = 100; m2 = procest(dat2, m2_init, opt)
m2 =
Process model with transfer function:
1+Tz*s
G(s) = Kp * ------------------- * exp(-Td*s)
s(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = 0.98412
Tp1 = 2
Tp2 = 1.4838
Td = 1.713
Tz = 0.027244
Parameterization:
{'P2DIZ'}
Number of free coefficients: 5
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat2".
Fit to estimation data: 91.51%
FPE: 0.1128, MSE: 0.1092
compare(dat2v,m2,m0) % Gives very good agreement with data
bode(m2,m0)
legend({'m2 (est)','m0 (actual)'},'location','west')
impulse(m2,m0)
legend({'m2 (est)','m0 (actual)'})
真のシステムのパラメーターとも比較します。
present(m2) [getpvec(m0), getpvec(m2)]
m2 =
Process model with transfer function:
1+Tz*s
G(s) = Kp * ------------------- * exp(-Td*s)
s(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = 0.98412 +/- 0.013672
Tp1 = 2 +/- 8.2231
Tp2 = 1.4838 +/- 10.193
Td = 1.713 +/- 63.703
Tz = 0.027244 +/- 65.516
Parameterization:
{'P2DIZ'}
Number of free coefficients: 5
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Termination condition: Change in cost was less than the specified tolerance..
Number of iterations: 3, Number of function evaluations: 4
Estimated using PROCEST on time domain data "dat2".
Fit to estimation data: 91.51%
FPE: 0.1128, MSE: 0.1092
More information in model's "Report" property.
ans =
1.0000 0.9841
1.0000 2.0000
5.0000 1.4838
2.2000 1.7130
3.0000 0.0272
注意。いくつかのリアルタイム定数の同定は、特にデータを閉ループで収集する場合、悪条件の問題になることがあります。
これを説明するため、検証データに基づいてモデルを推定します。
m2v = procest(dat2v, m2_init, opt) [getpvec(m0), getpvec(m2), getpvec(m2v)]
m2v =
Process model with transfer function:
1+Tz*s
G(s) = Kp * ------------------- * exp(-Td*s)
s(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = 0.95747
Tp1 = 1.999
Tp2 = 0.60819
Td = 2.314
Tz = 0.0010561
Parameterization:
{'P2DIZ'}
Number of free coefficients: 5
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat2v".
Fit to estimation data: 90.65%
FPE: 0.1397, MSE: 0.1353
ans =
1.0000 0.9841 0.9575
1.0000 2.0000 1.9990
5.0000 1.4838 0.6082
2.2000 1.7130 2.3140
3.0000 0.0272 0.0011
このモデルは、パラメーター値の状態がよくありません。しかし、他のデータセット dat2 でテストした場合、真のシステム m0 とほぼ同じように動作します。
compare(dat2,m0,m2,m2v)
推定中における既知のパラメーターの固定
他のソースから、1 つの時定数が 1 であることが判明していると想定します。
m2v.Structure.Tp1.Value = 1; m2v.Structure.Tp1.Free = false;
この値を固定して、以下のように他のパラメーターを推定できます
m2v = procest(dat2v,m2v)
%
m2v =
Process model with transfer function:
1+Tz*s
G(s) = Kp * ------------------- * exp(-Td*s)
s(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = 1.0111
Tp1 = 1
Tp2 = 5.3014
Td = 2.195
Tz = 3.231
Parameterization:
{'P2DIZ'}
Number of free coefficients: 4
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat2v".
Fit to estimation data: 92.05%
FPE: 0.09952, MSE: 0.09794
前述のように、Tp1 を既知の値に固定すると、モデル m2v での残りのパラメーターの推定が劇的に改善されます。
また、シンプルな近似がこのデータで有効であることもわかります。
m1x_init = idproc('P2D'); % simpler structure (no zero, no integrator) m1x_init.Structure.Td.Maximum = 2; m1x = procest(dat2v, m1x_init) compare(dat2,m0,m2,m2v,m1x)
m1x =
Process model with transfer function:
Kp
G(s) = ----------------- * exp(-Td*s)
(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Kp = -1.4502
Tp1 = 1.025e-06
Tp2 = 0.0047582
Td = 0
Parameterization:
{'P2D'}
Number of free coefficients: 4
Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.
Status:
Estimated using PROCEST on time domain data "dat2v".
Fit to estimation data: -23.74%
FPE: 24.1, MSE: 23.72
したがって、シンプルなモデルで、システム出力を良好に推定できます。ただし、m1x は統合を含まず、開ループの長時間範囲動作は大きく異なります。
step(m0,m2,m2v,m1x) legend('m0','m2','m2v','m1x') bdclose('iddempr2') warning(Warn)
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