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多次元関数のサロゲート最適化

この例では、最小化問題における 3 つの推奨ソルバーの動作を示します。目的関数は multirosenbrock 関数です。

type multirosenbrock

function F = multirosenbrock(x)
% This function is a multidimensional generalization of Rosenbrock's
% function. It operates in a vectorized manner, assuming that x is a matrix
% whose rows are the individuals.

% Copyright 2014 by The MathWorks, Inc.

N = size(x,2); % assumes x is a row vector or 2-D matrix
if mod(N,2) % if N is odd
    error('Input rows must have an even number of elements')
end

odds  = 1:2:N-1;
evens = 2:2:N;
F = zeros(size(x));
F(:,odds)  = 1-x(:,odds);
F(:,evens) = 10*(x(:,evens)-x(:,odds).^2);
F = sum(F.^2,2);

multirosenbrock 関数には、点 [1,1,...,1] で 0 という単一の局所的最小値があります。最大関数数がわずか 200 という難しい状況で、一般的な非線形問題に対する 3 つの最良のソルバーが、この 20 次元関数に対してどれだけうまく機能するかを確認します。

問題を設定します。

N = 20; % any even number
mf = 200; % max fun evals
fun = @multirosenbrock;
lb = -3*ones(1,N);
ub = -lb;
rng default
x0 = -3*rand(1,N);

surrogateopt のオプションを設定して、関数評価を 200 回だけ使用し、ソルバーを実行します。

options = optimoptions('surrogateopt','MaxFunctionEvaluations',mf);
[xm,fvalm,~,~,pop] = surrogateopt(fun,lb,ub,options);

surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by 
'options.MaxFunctionEvaluations'.

最適化を監視するためのプロット関数を含む、patternsearch にも同様のオプションを設定します。

psopts = optimoptions('patternsearch','PlotFcn','psplotbestf','MaxFunctionEvaluations',mf);
[psol,pfval] = patternsearch(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,[],psopts);

patternsearch stopped because it exceeded options.MaxFunctionEvaluations.

fmincon にも同様のオプションを設定します。

opts = optimoptions('fmincon','PlotFcn','optimplotfval','MaxFunctionEvaluations',mf);
[fmsol,fmfval,eflag,fmoutput] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,[],opts);

Solver stopped prematurely.

fmincon stopped because it exceeded the function evaluation limit,
options.MaxFunctionEvaluations = 2.000000e+02.

この極めて制限された数の関数評価では、surrogateopt ソリューションが 0 の真の最小値に最も近くなります。

table(fvalm,pfval,fmfval,'VariableNames',{'surrogateopt','patternsearch','fmincon'})

ans=1×3 table
    surrogateopt    patternsearch    fmincon
    ____________    _____________    _______

       8.8498           774.8         493.7 

さらに 200 回の関数評価を実行すると、他のソルバーが真の解に急速に近づく一方で、surrogateopt では大幅な改善が見られないことがわかります。ソルバーを以前のソリューションから再起動します。これにより、各最適化に 200 回の関数評価が追加されます。

options = optimoptions(options,'InitialPoints',pop);
[xm,fvalm,~,~,pop] = surrogateopt(fun,lb,ub,options);

surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by 
'options.MaxFunctionEvaluations'.

[psol,pfval] = patternsearch(fun,psol,[],[],[],[],lb,ub,[],psopts);

patternsearch stopped because it exceeded options.MaxFunctionEvaluations.

[fmsol,fmfval,eflag,fmoutput] = fmincon(fun,fmsol,[],[],[],[],lb,ub,[],opts);

Solver stopped prematurely.

fmincon stopped because it exceeded the function evaluation limit,
options.MaxFunctionEvaluations = 2.000000e+02.

table(fvalm,pfval,fmfval,'VariableNames',{'surrogateopt','patternsearch','fmincon'})

ans=1×3 table
    surrogateopt    patternsearch    fmincon
    ____________    _____________    _______

       8.3754          326.73        8.5989 

参考

surrogateopt

トピック

• サロゲート最適化