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積分

この例では、Symbolic Math Toolbox™ を使った定積分の計算方法を説明します。

定積分

f(x)=sin(x) における [π2,3π2] の範囲の定積分 abf(x)dx が 0 であることを示します。

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)
ans = 0sym(0)

最大値と最小値による定積分

a0 の場合に F(a)=-aasin(ax)sin(x/a)dx を最大化するには、はじめにシンボリック変数を定義し、a0 と仮定します。

syms a x
assume(a >= 0);

次に、最大化する関数を定義します。

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)
F = 

{1-sin(2)2 if  a=12asin(a2)cos(1)-a2cos(a2)sin(1)a4-1 if  a1piecewise(a == 1, sym(1) - sin(sym(2))/2, a ~= 1, (2*a*(sin(a^2)*cos(sym(1)) - a^2*cos(a^2)*sin(sym(1))))/(a^4 - 1))

ここで、a=1 の場合の特殊なケースに注意してください。計算を容易にするには、assumeAlso を使用してこの可能性を無視します (後で a=1 が最大値ではないことを確認します)。

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)
F = 

2asin(a2)cos(1)-a2cos(a2)sin(1)a4-1(2*a*(sin(a^2)*cos(sym(1)) - a^2*cos(a^2)*sin(sym(1))))/(a^4 - 1)

F のプロットを作成し、その形状を確認します。

fplot(F,[0 10])

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

diff を使用して、a について F の導関数を求めます。

Fa = diff(F,a)
Fa = 

2σ1a4-1+2a2acos(a2)cos(1)-2acos(a2)sin(1)+2a3sin(a2)sin(1)a4-1-8a4σ1a4-12where  σ1=sin(a2)cos(1)-a2cos(a2)sin(1)(2*(sin(a^2)*cos(sym(1)) - a^2*cos(a^2)*sin(sym(1))))/(a^4 - 1) + (2*a*(2*a*cos(a^2)*cos(sym(1)) - 2*a*cos(a^2)*sin(sym(1)) + 2*a^3*sin(a^2)*sin(sym(1))))/(a^4 - 1) - (8*a^4*(sin(a^2)*cos(sym(1)) - a^2*cos(a^2)*sin(sym(1))))/(a^4 - 1)^2

Fa の零点は F の局所的極値です。

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type functionline.

最大値は 1 と 2 の間にあります。vpasolve を使用してこの区間における Fa の零点の近似を求めます。

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])
a_max = 1.5782881585233198075558845180583vpa('1.5782881585233198075558845180583')

subs を使用して積分の最大値を取得します。

F_max = subs(F,a,a_max)
F_max = 0.36730152527504169588661811770092cos(1)+1.2020566879911789986062956284113sin(1)vpa('0.36730152527504169588661811770092')*cos(sym(1)) + vpa('1.2020566879911789986062956284113')*sin(sym(1))

結果にはまだ厳密な数値 sin(1)cos(1) が含まれています。vpa を使用してそれらを数値近似と置き換えます。

vpa(F_max)
ans = 1.2099496860938456039155811226054vpa('1.2099496860938456039155811226054')

除外した a=1 のケースがそれよりも大きい値にならないことを確認します。

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))
ans = 0.54535128658715915230199006704413vpa('0.54535128658715915230199006704413')

多重積分

高次元領域の数値積分には次のような特殊関数があります。

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)
ans = 4.0127e-19

高次のシンボリック積分にはそのような特殊関数はありません。代わりに入れ子にされた 1 次元積分を使用します。

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)
ans = 0sym(0)

線積分

3 次元空間のベクトル場 F を定義します。

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

次に、曲線を定義します。

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

曲線 u に沿った F の線積分は fdu=f(ux(t),uy(t),uz(t))dudtdt と定義されます。ここで、右側にある はスカラー積を表します。

この定義を使用して、範囲 [0,1]t の線積分を計算します。

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)
F_int = 

19cos(1)4-cos(3)108-12sin(1)+sin(3)27+39554(sym(19)*cos(sym(1)))/4 - cos(sym(3))/108 - sym(12)*sin(sym(1)) + sin(sym(3))/27 + sym(395/54)

この厳密な結果の数値近似を求めます。

vpa(F_int)
ans = -0.20200778585035447453044423341349-vpa('0.20200778585035447453044423341349')