積分

定積分

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ における $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ の範囲の定積分 ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{dx}$ が 0 であることを示します。

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)

ans = $$0$$

最大値と最小値による定積分

$$a\ge 0$$ の場合に $$F(a)={\int }_{-a}^a\sin (ax)\sin (x/a)dx$$ を最大化するには、はじめにシンボリック変数を定義し、$$a\ge 0$$ と仮定します。

syms a x
assume(a >= 0);

次に、最大化する関数を定義します。

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}1-\frac{\sin \left(2\right)}{2}& \text{ if }a=1\\ \frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}& \text{ if }a\ne 1\end{array}$$

ここで、$$a=1$$ の場合の特殊なケースに注意してください。計算を容易にするには、assumeAlso を使用してこのケースを無視します。

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}$$

$$F$$ のプロットを作成し、その形状を確認します。

fplot(F,[0 10])

diff を使用して、$$a$$ について $$F$$ の導関数を求めます。

Fa = diff(F,a)

Fa = 
$$\begin{array}{l}\frac{2\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{a^4-1}+\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+2\hspace{0.17em}{a}^3\hspace{0.17em}\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}-\frac{8\hspace{0.17em}{a}^4\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{{\left(a^4-1\right)}^2}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\end{array}$$

$$Fa$$ の零点は $$F$$ の局所的極値です。

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

最大値は 1 と 2 の間にあります。vpasolve を使用してこの区間における $$Fa$$ の零点の近似を求めます。

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])

a_max = $$1.5782881585233198075558845180583$$

subs を使用して積分の最大値を取得します。

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max = $$0.36730152527504169588661811770092\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)+1.2020566879911789986062956284113\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)$$

結果にはまだ厳密な数値 $$\sin (1)$$ と $$\cos (1)$$ が含まれています。vpa を使用してそれらを数値近似と置き換えます。

vpa(F_max)

ans = $$1.2099496860938456039155811226054$$

除外した $$a=1$$ のケースがそれよりも大きい値にならないことを確認します。

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))

ans = $$0.54535128658715915230199006704413$$

多重積分

高次元領域の数値積分には特殊関数があります。

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)

ans = 
4.0127e-19

高次のシンボリック積分にはそのような特殊関数はありません。代わりに入れ子にされた 1 次元積分を使用します。

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)

ans = $$0$$

線積分

3 次元空間のベクトル場 F を定義します。

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

次に、曲線を定義します。

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

曲線 u に沿った F の線積分は $$\int f\cdot du=\int f(ux(t),uy(t),uz(t))\cdot \frac{du}{dt}dt$$ と定義されます。ここで、右側にある $$\cdot$$ はスカラー積を表します。

この定義を使用して、範囲 $$[0,1]$$ の $$t$$ の線積分を計算します。

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)

F_int = 
$$\frac{19\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)}{4}-\frac{\cos \left(3\right)}{108}-12\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+\frac{\sin \left(3\right)}{27}+\frac{395}{54}$$

この厳密な結果の数値近似を求めます。

vpa(F_int)

ans = $$-0.20200778585035447453044423341349$$