微分

R2026a

この例では、Symbolic Math Toolbox™ を使って導関数を解析的に求めて評価する方法を説明します。例では、f(x) の 1 次および 2 次の導関数を求め、これらの導関数を使用して局所的最大値、局所的最小値、および変曲点を求めます。

Plot of a function along with its local minimum, local maxima, and inflection points

1 次導関数を使用した局所的最小値と局所的最大値の検出

式の 1 次導関数を計算すると、その式の局所的な最小と最大を求めることができます。シンボリック式を作成する前に、シンボリック変数を作成します。

syms x

既定の設定では、虚数部の成分を含む解が結果に含まれます。ここで、x が実数であるという仮定を立てることにより、x の実数値のみを考えます。

assume(x,"real")

たとえば、有理式 (分子と分母が多項式の分数など) を作成します。

f = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)

f = 
 $\frac{3 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 1}{2 x^{3} - x + 3}$

この式をプロットすると、式が水平方向および垂直方向の漸近線をもち、–1 ～ 0 の間に局所的最小値、1 ～ 2 の間に局所的最大値をもつことがわかります。

fplot(f)
grid

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

水平方向の漸近線を求めるには、正および負の無限大に近付く x について f の極限を計算します。水平方向の漸近線は y = 3/2 です。

lim_left = limit(f,x,-Inf)

lim_left = 
 $\frac{3}{2}$

lim_right = limit(f,x,Inf)

lim_right = 
 $\frac{3}{2}$

この水平方向の漸近線をプロットに追加します。

hold on
plot(xlim,[lim_right lim_right],LineStyle="-.",Color=[0.25 0.25 0.25])

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type functionline, line.

f の垂直方向の漸近線を見つけるには、f の極を求めます。

pole_pos = poles(f,x)

pole_pos = 
 $- \frac{1}{6 {(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3}} - {(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3}$

関数 double を使用して、厳密解を数値的に近似します。

double(pole_pos)

ans = 
-1.2896

ここで、f の局所的最小値と最大値を求めます。点が局所的極値 (最小または最大) である場合、その点における式の 1 次導関数はゼロに等しくなります。diff を使用して f の導関数を計算します。

g = diff(f,x)

g = 
 $\frac{9 x^{2} + 34 x + 6}{2 x^{3} - x + 3} - \frac{(6 x^{2} - 1) (3 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 1)}{{(2 x^{3} - x + 3)}^{2}}$

f の局所的極値を求めるには、方程式 g == 0 を解きます。

g0 = solve(g,x)

g0 = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3}}^{1 / 6}} - σ_{1} - \frac{15}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3}}^{1 / 6}} + σ_{1} - \frac{15}{68} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{3}}^{1 / 3} \sqrt{σ_{2}}}{578} - 9 {σ_{3}}^{2 / 3} \sqrt{σ_{2}} - \frac{361 \sqrt{σ_{2}}}{289}}}{6 {σ_{3}}^{1 / 6} {σ_{2}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} = \frac{2841 {σ_{3}}^{1 / 3}}{1156} + 9 {σ_{3}}^{2 / 3} + \frac{361}{289} \\ σ_{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

関数 double を使用して、厳密解を数値的に近似します。

double(g0)

ans = 2×1

   -0.1892
    1.2860

式 f では、x = 1.286 で局所的最大値に、x = -0.189 で局所的最小値になります。subs を使用してこれらの点の関数値を得ます。

f0 = subs(f,x,g0)

f0 = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{3 σ_{2} - 17 {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{2} - σ_{4} + σ_{1} + \frac{11}{34}}{σ_{6} + 2 σ_{2} - σ_{5} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4} + 17 {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{2} + 3 σ_{3} + σ_{1} - \frac{11}{34}}{σ_{6} - 2 σ_{3} + σ_{5} - \frac{219}{68}} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = \frac{σ_{7}}{{σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} = {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{3} \\ σ_{3} = {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{3} \\ σ_{4} = \frac{\sqrt{σ_{8}}}{{σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{5} = \frac{σ_{7}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{6} = \frac{\sqrt{σ_{8}}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{7} = \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3} \sqrt{σ_{8}}}{578} - 9 {σ_{9}}^{2 / 3} \sqrt{σ_{8}} - \frac{361 \sqrt{σ_{8}}}{289}} \\ σ_{8} = \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3}}{1156} + 9 {σ_{9}}^{2 / 3} + \frac{361}{289} \\ σ_{9} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

変数 f0 に double 関数を使用して、厳密解を数値的に近似します。

double(f0)

ans = 2×1

    0.1427
    7.2410

グラフの極値に点のマーカーを追加します。

plot(g0,f0,"ok")

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type functionline, line. One or more of the lines displays its values using only markers

2 次導関数を使用した変曲点の検出

2 次導関数を計算すると、式の変曲点を求めることができます。2 階以上の高階数微分の最も効率の良い計算方法は、微分の階数を指定するパラメーターを使用することです。

h = diff(f,x,2)

h = 
 $\begin{array}{l} \frac{18 x + 34}{σ_{1}} - \frac{2 (6 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 34 x + 6)}{{σ_{1}}^{2}} - \frac{12 x σ_{2}}{{σ_{1}}^{2}} + \frac{2 {(6 x^{2} - 1)}^{2} σ_{2}}{{σ_{1}}^{3}} \\ where \\ σ_{1} = 2 x^{3} - x + 3 \\ σ_{2} = 3 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 1 \end{array}$

次に、その結果を単純化します。

h = simplify(h)

h = 
 $\frac{2 (68 x^{6} + 90 x^{5} + 18 x^{4} - 699 x^{3} - 249 x^{2} + 63 x + 172)}{{(2 x^{3} - x + 3)}^{3}}$

f の変曲点を求めるには、方程式 h = 0 の解を求めます。ここでは、数値ソルバー vpasolve を使用して解の浮動小数点近似を計算します。

h0 = vpasolve(h,x)

h0 = 
 $(\begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 i \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 i \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 i \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 i \end{array})$

式 f の変曲点は x = 1.865 と x = 0.579 の 2 つです。vpasolve は複素数解も返すことに注意してください。複素数解を除外します。

h0(imag(h0)~=0) = []

h0 = 
 $(\begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array})$

マーカーをプロットに追加して変曲点を示します。

plot(h0,subs(f,x,h0),"*k")
hold off

Figure contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type functionline, line. One or more of the lines displays its values using only markers