anova
線形混合効果モデルの分散分析
説明
例
固定効果の F 検定
標本データを読み込みます。
load('shift.mat')
このデータは 5 人の作業者が 3 つのシフトの間に製造した製品から計測された品質目標の特性の絶対偏差を示します。3 つのシフトとは朝、夕方、夜です。これは作業者をブロックとする乱塊法です。この実験は、シフトの時間によるパフォーマンスへの影響の調査を意図しています。パフォーマンスの測定基準は、目標値からの品質特性の偏差です。このデータは、シミュレーションされたものです。
Shift
および Operator
はノミナル変数です。
shift.Shift = nominal(shift.Shift); shift.Operator = nominal(shift.Operator);
シフトの時間によってパフォーマンスに有意差があるかどうかを評価するために、作業者別のランダムな切片をもつ線形混合効果モデルを当てはめます。制限付き最尤法と 'effects'
対比を使用します。
'effects'
の対比では、係数の合計が 0 になることを指定します。fitlme
は、2 つの対比コード化された変数 $X$1 および $X$2 を固定効果計画行列内に作成します。ここで、次のようになります。
および
このモデルは以下に対応します。
ここで、 ~ N(0, ) および ~ N(0, ) です。
lme = fitlme(shift,'QCDev ~ Shift + (1|Operator)',... 'FitMethod','REML','DummyVarCoding','effects')
lme = Linear mixed-effects model fit by REML Model information: Number of observations 15 Fixed effects coefficients 3 Random effects coefficients 5 Covariance parameters 2 Formula: QCDev ~ 1 + Shift + (1 | Operator) Model fit statistics: AIC BIC LogLikelihood Deviance 58.913 61.337 -24.456 48.913 Fixed effects coefficients (95% CIs): Name Estimate SE tStat DF pValue Lower Upper {'(Intercept)' } 3.6525 0.94109 3.8812 12 0.0021832 1.6021 5.703 {'Shift_Evening'} -0.53293 0.31206 -1.7078 12 0.11339 -1.2129 0.14699 {'Shift_Morning'} -0.91973 0.31206 -2.9473 12 0.012206 -1.5997 -0.23981 Random effects covariance parameters (95% CIs): Group: Operator (5 Levels) Name1 Name2 Type Estimate Lower Upper {'(Intercept)'} {'(Intercept)'} {'std'} 2.0457 0.98207 4.2612 Group: Error Name Estimate Lower Upper {'Res Std'} 0.85462 0.52357 1.395
すべての固定効果係数が 0 であるかどうか判定するため、 検定を実行します。
anova(lme)
ans = ANOVA MARGINAL TESTS: DFMETHOD = 'RESIDUAL' Term FStat DF1 DF2 pValue {'(Intercept)'} 15.063 1 12 0.0021832 {'Shift' } 11.091 2 12 0.0018721
定数項の 値 0.0021832 は、lme
の係数表の値と同じです。Shift
の 値 0.0018721 は、Shift
を表す両方の係数の結合有意性の尺度となります。
LME モデルにおける固定効果の ANOVA
標本データを読み込みます。
load('fertilizer.mat')
このデータセット配列には土壌の種類に基づいて土壌が 3 つのブロックに分けられている分割プロット試験のデータが含まれています。土壌の種類は砂質、シルトおよび粘土質です。各ブロックは 5 つのプロットに分割され、5 種類のトマトの苗木 (チェリー、エアルーム、グレープ、枝付き、プラム) がランダムにこれらのプロットに割り当てられます。その後、プロット内のトマトの苗木はサブプロットに分割され、それぞれのサブプロットが 4 つの肥料の中の 1 つにより処置されます。このデータは、シミュレーションされたものです。
実用目的でこのデータを ds
という名前のデータセット配列に保存し、Tomato
、Soil
および Fertilizer
をカテゴリカル変数として定義します。
ds = fertilizer; ds.Tomato = nominal(ds.Tomato); ds.Soil = nominal(ds.Soil); ds.Fertilizer = nominal(ds.Fertilizer);
線形混合効果モデルを当てはめます。Fertilizer
および Tomato
は固定効果変数であり、平均収穫量はブロック (土壌の種類) とブロック内のプロット (土壌の種類の中のトマトの種類) によって独立して変化します。データをタイプ III 二乗和に近似するときに 'effects'
対比を使用します。
lme = fitlme(ds,'Yield ~ Fertilizer * Tomato + (1|Soil) + (1|Soil:Tomato)',... 'DummyVarCoding','effects')
lme = Linear mixed-effects model fit by ML Model information: Number of observations 60 Fixed effects coefficients 20 Random effects coefficients 18 Covariance parameters 3 Formula: Yield ~ 1 + Tomato*Fertilizer + (1 | Soil) + (1 | Soil:Tomato) Model fit statistics: AIC BIC LogLikelihood Deviance 522.57 570.74 -238.29 476.57 Fixed effects coefficients (95% CIs): Name Estimate SE tStat DF pValue Lower Upper {'(Intercept)' } 104.6 3.3008 31.69 40 5.9086e-30 97.929 111.27 {'Tomato_Cherry' } 1.4 5.9353 0.23588 40 0.81473 -10.596 13.396 {'Tomato_Grape' } -7.7667 5.9353 -1.3085 40 0.19816 -19.762 4.2291 {'Tomato_Heirloom' } -11.183 5.9353 -1.8842 40 0.066821 -23.179 0.81242 {'Tomato_Plum' } 30.233 5.9353 5.0938 40 8.777e-06 18.238 42.229 {'Fertilizer_1' } -28.267 2.3475 -12.041 40 7.0265e-15 -33.011 -23.522 {'Fertilizer_2' } -1.9333 2.3475 -0.82356 40 0.41507 -6.6779 2.8112 {'Fertilizer_3' } 10.733 2.3475 4.5722 40 4.577e-05 5.9888 15.478 {'Tomato_Cherry:Fertilizer_1' } -0.73333 4.6951 -0.15619 40 0.87667 -10.222 8.7558 {'Tomato_Grape:Fertilizer_1' } -7.5667 4.6951 -1.6116 40 0.11491 -17.056 1.9224 {'Tomato_Heirloom:Fertilizer_1'} 5.1833 4.6951 1.104 40 0.27619 -4.3058 14.672 {'Tomato_Plum:Fertilizer_1' } 2.7667 4.6951 0.58927 40 0.55899 -6.7224 12.256 {'Tomato_Cherry:Fertilizer_2' } 7.6 4.6951 1.6187 40 0.11337 -1.8891 17.089 {'Tomato_Grape:Fertilizer_2' } -1.9 4.6951 -0.40468 40 0.68787 -11.389 7.5891 {'Tomato_Heirloom:Fertilizer_2'} 5.5167 4.6951 1.175 40 0.24695 -3.9724 15.006 {'Tomato_Plum:Fertilizer_2' } -3.9 4.6951 -0.83066 40 0.4111 -13.389 5.5891 {'Tomato_Cherry:Fertilizer_3' } -6.0667 4.6951 -1.2921 40 0.20373 -15.556 3.4224 {'Tomato_Grape:Fertilizer_3' } 3.7667 4.6951 0.80226 40 0.42714 -5.7224 13.256 {'Tomato_Heirloom:Fertilizer_3'} 3.1833 4.6951 0.67802 40 0.50167 -6.3058 12.672 {'Tomato_Plum:Fertilizer_3' } 1.1 4.6951 0.23429 40 0.81596 -8.3891 10.589 Random effects covariance parameters (95% CIs): Group: Soil (3 Levels) Name1 Name2 Type Estimate Lower Upper {'(Intercept)'} {'(Intercept)'} {'std'} 2.5028 0.02771 226.05 Group: Soil:Tomato (15 Levels) Name1 Name2 Type Estimate Lower Upper {'(Intercept)'} {'(Intercept)'} {'std'} 10.225 6.1497 17.001 Group: Error Name Estimate Lower Upper {'Res Std'} 10.499 8.5389 12.908
固定効果の検定のために分散分析を実施します。
anova(lme)
ans = ANOVA MARGINAL TESTS: DFMETHOD = 'RESIDUAL' Term FStat DF1 DF2 pValue {'(Intercept)' } 1004.2 1 40 5.9086e-30 {'Tomato' } 7.1663 4 40 0.00018935 {'Fertilizer' } 58.833 3 40 1.0024e-14 {'Tomato:Fertilizer'} 1.4182 12 40 0.19804
定数項の 値 5.9086e-30 は、lme
の係数表の値と同じです。Tomato
、Fertilizer
および Tomato:Fertilizer
の 値 0.00018935、1.0024e-14 および 0.19804 はそれぞれ、すべてのトマト係数、肥料係数、およびトマトと肥料の交互作用を表す係数の結合有意性を表します。 値 0.19804 は、トマトと肥料の間の交互作用が有意ではないことを示しています。
自由度についてのサタースウェイトの近似法
標本データを読み込みます。
load('weight.mat')
weight
には長期間の調査によるデータが含まれています。そこには 20 人の被験者が 4 つの運動プログラムにランダムに割り当てられ、体重の減少が 6 回の 2 週間の期間にわたって記録されています。このデータは、シミュレーションされたものです。
データをテーブルに保存します。Subject
および Program
をカテゴリカル変数として定義します。
tbl = table(InitialWeight,Program,Subject,Week,y); tbl.Subject = nominal(tbl.Subject); tbl.Program = nominal(tbl.Program);
'effects'
対比を使用してモデルを当てはめます。
lme = fitlme(tbl,'y ~ InitialWeight + Program*Week + (Week|Subject)',... 'DummyVarCoding','effects')
lme = Linear mixed-effects model fit by ML Model information: Number of observations 120 Fixed effects coefficients 9 Random effects coefficients 40 Covariance parameters 4 Formula: y ~ 1 + InitialWeight + Program*Week + (1 + Week | Subject) Model fit statistics: AIC BIC LogLikelihood Deviance -22.981 13.257 24.49 -48.981 Fixed effects coefficients (95% CIs): Name Estimate SE tStat DF pValue Lower Upper {'(Intercept)' } 0.77122 0.24309 3.1725 111 0.0019549 0.28951 1.2529 {'InitialWeight' } 0.0031879 0.0013814 2.3078 111 0.022863 0.00045067 0.0059252 {'Program_A' } -0.11017 0.080377 -1.3707 111 0.17323 -0.26945 0.0491 {'Program_B' } 0.25061 0.08045 3.1151 111 0.0023402 0.091195 0.41003 {'Program_C' } -0.14344 0.080475 -1.7824 111 0.077424 -0.3029 0.016031 {'Week' } 0.19881 0.033727 5.8946 111 4.1099e-08 0.13198 0.26564 {'Program_A:Week'} -0.025607 0.058417 -0.43835 111 0.66198 -0.14136 0.090149 {'Program_B:Week'} 0.013164 0.058417 0.22535 111 0.82212 -0.10259 0.12892 {'Program_C:Week'} 0.0049357 0.058417 0.084492 111 0.93282 -0.11082 0.12069 Random effects covariance parameters (95% CIs): Group: Subject (20 Levels) Name1 Name2 Type Estimate Lower Upper {'(Intercept)'} {'(Intercept)'} {'std' } 0.18407 0.12281 0.27587 {'Week' } {'(Intercept)'} {'corr'} 0.66841 0.21076 0.88573 {'Week' } {'Week' } {'std' } 0.15033 0.11004 0.20537 Group: Error Name Estimate Lower Upper {'Res Std'} 0.10261 0.087882 0.11981
値 0.022863 および 4.1099e-08 は、被験者の初期体重と時間因子が体重の減少量に対して有意な影響を与えることを示しています。プログラム B の被験者の体重の減少は、プログラム A の被験者の体重の減少に対して有意差があります。変量効果の共分散パラメーターの下限または上限に 0 は含まれないため、この差は有意です。
すべての固定効果係数が 0 である F 検定を実施します。
anova(lme)
ans = ANOVA MARGINAL TESTS: DFMETHOD = 'RESIDUAL' Term FStat DF1 DF2 pValue {'(Intercept)' } 10.065 1 111 0.0019549 {'InitialWeight'} 5.326 1 111 0.022863 {'Program' } 3.6798 3 111 0.014286 {'Week' } 34.747 1 111 4.1099e-08 {'Program:Week' } 0.066648 3 111 0.97748
定数項、初期体重および週に関する 値は、前の lme
の出力で表示された係数表の値と同じです。Program
の 値 0.014286 は、すべてのプログラムの係数の結合有意性を表します。同様に、プログラムと週の交互作用 (Program:Week
) の 値は、この交互作用を表すすべての係数の結合有意性の尺度となります。
次にサタースウェイト法を使用して自由度を計算します。
anova(lme,'DFMethod','satterthwaite')
ans = ANOVA MARGINAL TESTS: DFMETHOD = 'SATTERTHWAITE' Term FStat DF1 DF2 pValue {'(Intercept)' } 10.065 1 20.445 0.004695 {'InitialWeight'} 5.326 1 20 0.031827 {'Program' } 3.6798 3 19.14 0.030233 {'Week' } 34.747 1 20 9.1346e-06 {'Program:Week' } 0.066648 3 20 0.97697
サタースウェイト法では、分母の自由度が小さくなり、 値が少しだけ大きくなります。
入力引数
lme
— 線形混合効果モデル
LinearMixedModel
オブジェクト
線形混合効果モデル。fitlme
または fitlmematrix
を使用して構築した LinearMixedModel
オブジェクトとして指定します。
名前と値の引数
オプションの引数のペアを Name1=Value1,...,NameN=ValueN
として指定します。ここで Name
は引数名、Value
は対応する値です。名前と値の引数は他の引数の後ろにする必要がありますが、ペアの順序は関係ありません。
R2021a より前では、名前と値をそれぞれコンマを使って区切り、Name
を引用符で囲みます。
例: stats = anova(lme,'DFMethod','satterthwaite')
DFMethod
— 自由度の近似の計算方法
'residual'
(既定値) | 'satterthwaite'
| 'none'
F 検定で使用する自由度の近似の計算方法です。'DFMethod'
と次のいずれかの値で構成されるコンマ区切りのペアで指定します。
'residual' | 既定の設定。自由度は定数で n – p に等しいと仮定されます。ここで n は観測値の数、p は固定効果の数です。 |
'satterthwaite' | サタースウェイトの近似法。 |
'none' | すべての自由度は無限大に設定されます。 |
たとえば、次のようにサタースウェイトの近似法を指定できます。
例: 'DFMethod','satterthwaite'
出力引数
stats
— 固定効果項の F 検定の結果
データセット配列
固定効果項の F 検定の結果です。次の列をもつデータセット配列として返されます。
Term | 固定効果項の名前 |
Fstat | 項の F 統計量 |
DF1 | F 統計量の分子の自由度 |
DF2 | F 統計量の分母の自由度 |
pValue | 項の検定の p 値 |
固定効果の項ごとに 1 つの行があります。それぞれの項は連続変数、グループ化変数、2 つ以上の連続変数またはグループ化変数間の交互作用のいずれかです。anova
は固定効果の項ごとに、固定効果の項を表すすべての係数が 0 であるかを判定する F 検定 (周辺検定) を行います。タイプ III 仮説の検定を行うには、線形混合効果モデルを当てはめながら、'effects'
の対比を使用しなければなりません。
ヒント
anova
は固定効果の項ごとに、固定効果の項を表すすべての係数が 0 であることについての F 検定 (周辺検定) を行います。タイプ III 仮説の検定を行うには、線形混合効果モデルを当てはめながら、名前と値のペアの引数'DummyVarCoding'
を'effects'
の対比に設定しなければなりません。
バージョン履歴
R2013b で導入
MATLAB コマンド
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