フィルターによって生じる遅延と歪みの補正

信号をフィルター処理すると遅延が生じます。つまり入力に対し、出力信号では時間のシフトが行われます。

シフトが一定の場合は、信号を時間シフトすることで遅延を補正できます。

フィルターでは、一部の周波数成分が不均一に遅延することがあります。この現象は位相歪みと呼ばれています。この影響は、関数 filtfilt を使用してゼロ位相フィルター処理を実行することで補正できます。

1 秒間に 500 Hz でサンプルされた心電図の読み取りを例に取ります。ランダムノイズを追加します。再現可能な結果が必要な場合は、乱数発生器をリセットします。

Fs = 500;
N = 500;

rng default

xn = ecg(N)+0.1*randn([1 N]);
tn = (0:N-1)/Fs;

75 Hz より高い周波数を阻止するフィルターを使用して、ノイズの一部を除去します。designfilt を使用して、次数 70 の FIR フィルターを設計します。

Nfir = 70;
Fst = 75;

firf = designfilt('lowpassfir','FilterOrder',Nfir, ...
    'CutoffFrequency',Fst,'SampleRate',Fs);

信号をフィルター処理し、プロットします。結果は元の信号より滑らかですが、遅れます。

xf = filter(firf,xn);

plot(tn,xn,tn,xf)
title 'Electrocardiogram'
xlabel 'Time (s)'
legend('Original','FIR Filtered')
grid

grpdelay を使用して、フィルターによって発生する遅延がフィルター次数の半分に等しいことを確認します。

grpdelay(firf,N,Fs)

delay = mean(grpdelay(firf))

delay = 35

データを整列させます。信号の最初の delay サンプルを削除することでフィルター処理された信号をシフトします。元の信号および時間ベクトルの最後の delay サンプルを削除します。

tt = tn(1:end-delay);
sn = xn(1:end-delay);

sf = xf;
sf(1:delay) = [];

信号をプロットし、それらが整列していることを確認します。

plot(tt,sn,tt,sf)
title 'Electrocardiogram'
xlabel('Time (s)')
legend('Original Signal','Filtered Shifted Signal')
grid

7 次 IIR フィルターを使用して計算を繰り返します。

Niir = 7;

iir = designfilt('lowpassiir','FilterOrder',Niir, ...
    'HalfPowerFrequency',Fst,'SampleRate',Fs);

信号をフィルター処理します。フィルター処理された信号は元の信号よりノイズが少ないですが、元の信号に対して時間が遅延します。また、フィルターの非線形位相により歪みが生じます。

xfilter = filter(iir,xn);

plot(tn,xn,tn,xfilter)

title 'Electrocardiogram'
xlabel 'Time (s)'
legend('Original','Filtered')
axis([0.25 0.55 -1 1.5])
grid

フィルターによって生じた群遅延を見ると、遅延が周波数に依存していることがわかります。

grpdelay(iir,N,Fs)

filtfilt を使用して信号をフィルター処理します。遅延と歪みは事実上削除されています。信号の位相情報をそのまま残すことが不可欠な場合は filtfilt を使用します。

xfiltfilt = filtfilt(iir,xn);

plot(tn,xn)
hold on
plot(tn,xfilter)
plot(tn,xfiltfilt)

title 'Electrocardiogram'
xlabel 'Time (s)'
legend('Original','''filter''','''filtfilt''')
axis([0.25 0.55 -1 1.5])
grid