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System Identification Toolbox を使用した構造化されたユーザー定義モデルの構築

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この例では、ユーザー定義モデル構造でパラメーターを推定する方法を説明します。このような構造は IDGREY (線形状態空間) または IDNLGREY (非線形状態空間) モデルで指定されます。構造を割り当て、パラメーターを指定し、依存性を作成する方法を検討します。

実験データ

(シミュレート) DC モーターから生じたデータを検討します。まず、データを読み込みます。

load dcmdata y u

行列 y には、2 つの出力が含まれます。y1 はモーター シャフトの角度位置で、y2 は角速度です。400 件のデータ サンプルがあり、サンプル時間は 0.1 秒です。入力は、ベクトル u に含まれます。これは、モーターへの入力電圧です。

z = iddata(y,u,0.1); % The IDDATA object
z.InputName = 'Voltage';
z.OutputName = {'Angle';'AngVel'};
plot(z(:,1,:))

図: 測定データ: 電圧と角度 

plot(z(:,2,:))

図: 測定データ: 電圧と角速度

モデル構造の選択

     d/dt x = A x + B u + K e
        y   = C x + D u + e

DC モーターのモデルを構築します。モーターのダイナミクスはよく知られています。角度位置に x1 を、角速度に x2 を選択した場合、細部に煩わされることなく、以下の特性の状態空間モデルを簡単に設定できます(Ljung (1999) の例 4.1 を参照)。

         | 0     1  |      | 0   |
d/dt x = |          | x  + |     | u
         | 0   -th1 |      | th2 |
        | 1  0 |
   y =  |      | x
        | 0  1 |

パラメーター th1 はモーターの逆時定数、th2 は th2/th1 が入力から角速度への静的ゲインとなるような値です (モーターの物理パラメーターに th1 と th2 がどのように関連しているかについては、Ljung (1987) を参照してください)。観測されたデータから、これらの 2 つのパラメーターを推定します。前述のモデル構造 (パラメーター化状態空間) は、MATLAB® で IDSS および IDGREY モデルを使用して表示できます。これらのモデルにより、実験データを使用して、パラメーターを推定できます。

ノミナル (初期) モデルの指定

th1=1、th2=0.28 とすると、ノミナル モデルまたは初期モデルが得られます。

A = [0 1; 0 -1]; % initial guess for A(2,2) is -1
B = [0; 0.28]; % initial guess for B(2) is 0.28
C = eye(2);
D = zeros(2,1);

さらに、これを IDSS モデル オブジェクトにパッケージ化します。

ms = idss(A,B,C,D);

このモデルは行列、行列の値 (推定できる自由要素)、行列の値の上限と下限により表されます。

ms.Structure.a

 
ans =
 
       Name: 'A'
      Value: [2x2 double]
    Minimum: [2x2 double]
    Maximum: [2x2 double]
       Free: [2x2 logical]
      Scale: [2x2 double]
       Info: [2x2 struct]

 
1x1 param.Continuous
 

ms.Structure.a.Value
ms.Structure.a.Free

ans =

     0     1
     0    -1


ans =

  2x2 logical array

   1   1
   1   1

IDSS モデルを使用した空き (独立) パラメーターの指定

ここで注意が必要なのは、推定できる自由パラメーターは A(2,2) と B(2,1) のみであるという点です。

ms.Structure.a.Free = [0 0; 0 1];
ms.Structure.b.Free = [0; 1];
ms.Structure.c.Free = 0; % scalar expansion used
ms.Structure.d.Free = 0;
ms.Ts = 0;  % This defines the model to be continuous

初期モデル

ms % Initial model

ms =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
       x1  x2
   x1   0   1
   x2   0  -1
 
  B = 
         u1
   x1     0
   x2  0.28
 
  C = 
       x1  x2
   y1   1   0
   y2   0   1
 
  D = 
       u1
   y1   0
   y2   0
 
  K = 
       y1  y2
   x1   0   0
   x2   0   0
 
Parameterization:
   STRUCTURED form (some fixed coefficients in  A, B, C).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 2
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                         
Created by direct construction or transformation. Not estimated.

IDSS モデルの自由パラメーターの推定

パラメーターの予測誤差 (最大数尤度) 推定が、以下のように算出されます。

dcmodel = ssest(z,ms,ssestOptions('Display','on'));
dcmodel

dcmodel =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
           x1      x2
   x1       0       1
   x2       0  -4.013
 
  B = 
       Voltage
   x1        0
   x2    1.002
 
  C = 
           x1  x2
   Angle    1   0
   AngVel   0   1
 
  D = 
           Voltage
   Angle         0
   AngVel        0
 
  K = 
        Angle  AngVel
   x1       0       0
   x2       0       0
 
Parameterization:
   STRUCTURED form (some fixed coefficients in  A, B, C).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 2
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                       
Estimated using SSEST on time domain data "z".
Fit to estimation data: [98.35;84.42]%        
FPE: 0.001071, MSE: 0.1192

パラメーターの推定値は、データをシミュレートしたときに使用した数値と非常に近接しています (-4 と 1)。モデルの質を評価するには、実際の入力を使用してモデルをシミュレートし、実際の出力と比較します。

compare(z,dcmodel);

たとえば、零点と極およびその不確実領域をプロットします。モデルの精度が高いため、標準偏差 3 に対応する領域を表示します。原点での極は、モデル構造の一部であり、角速度から位置への積分器であるため、絶対に確実であることがわかります。

clf
showConfidence(iopzplot(dcmodel),3)

いくつか変更を行ってみましょう。A 行列の 1,2 要素 (1 に固定) から、x2 が x1 の微分となります。センサーが調整されていない場合、不明の比例定数が存在することが考えられます。このような定数の推定を含めるため、A(1,2) を "解放" し、再び推定を行います。

dcmodel2 = dcmodel;
dcmodel2.Structure.a.Free(1,2) = 1;
dcmodel2 = pem(z,dcmodel2);

得られるモデルは以下のようになります。

dcmodel2

dcmodel2 =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
           x1      x2
   x1       0  0.9975
   x2       0  -4.011
 
  B = 
       Voltage
   x1        0
   x2    1.004
 
  C = 
           x1  x2
   Angle    1   0
   AngVel   0   1
 
  D = 
           Voltage
   Angle         0
   AngVel        0
 
  K = 
        Angle  AngVel
   x1       0       0
   x2       0       0
 
Parameterization:
   STRUCTURED form (some fixed coefficients in  A, B, C).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 3
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                     
Estimated using PEM on time domain data "z".
Fit to estimation data: [98.35;84.42]%      
FPE: 0.001077, MSE: 0.1192

推定した A(1,2) が 1 に近いことがわかります。2 つのモデルを比較するには、compare コマンドを使用します。

compare(z,dcmodel,dcmodel2)

IDGREY オブジェクトを使用した連動パラメーターによるモデルの指定

DC モーターの静的ゲインを正確に把握しているとします (入力電圧から角速度へ、たとえば、前に行ったステップ応答実験)。静的ゲインが G、モーターの時定数が t である場合、状態空間モデルは以下のようになります。

          |0     1|    |  0  |
d/dt x =  |       |x + |     | u
          |0  -1/t|    | G/t |
          |1   0|
   y   =  |     | x
          |0   1|

G が既知であるため、異なる行列の要素間に依存性があります。これを記述するには、以前使用した自由パラメーターを使用する方法では不十分です。このため、所定のパラメーター ベクトルそれぞれを入力とし、A、B、C、D の各行列、および任意で K および X0 行列を出力として生成する MATLAB ファイルを作成する必要があります。また、ユーザーが、このファイルを編集しなくても、モデル構造の一部を変更できるように、補助引数を入力として使用します。この場合、既知の静的ゲイン G を引数として入力します。作成されたファイルの名前は 'motorDynamics.m' です。

type motorDynamics

function [A,B,C,D,K,X0] = motorDynamics(par,ts,aux)
%MOTORDYNAMICS ODE file representing the dynamics of a motor.
%
%   [A,B,C,D,K,X0] = motorDynamics(Tau,Ts,G)
%   returns the State Space matrices of the DC-motor with
%   time-constant Tau (Tau = par) and known static gain G. The sample
%   time is Ts.
%
%   This file returns continuous-time representation if input argument Ts
%   is zero. If Ts>0, a discrete-time representation is returned. To make
%   the IDGREY model that uses this file aware of this flexibility, set the
%   value of Structure.FcnType property to 'cd'. This flexibility is useful
%   for conversion between continuous and discrete domains required for
%   estimation and simulation.
%
%   See also IDGREY, IDDEMO7.

%   L. Ljung
%   Copyright 1986-2015 The MathWorks, Inc.

t = par(1);
G = aux(1);

A = [0 1;0 -1/t];
B = [0;G/t];
C = eye(2);
D = [0;0];
K = zeros(2);
X0 = [0;0];
if ts>0 % Sample the model with sample time Ts
   s = expm([[A B]*ts; zeros(1,3)]);
   A = s(1:2,1:2);
   B = s(1:2,3);
end

このモデル構造に対応する IDGREY モデル オブジェクトを作成します。想定される時定数は以下のとおりです。

par_guess = 1;

また、補助変数 G (ゲイン) の値 0.25 とサンプル時間も与えます。

aux = 0.25;
dcmm = idgrey('motorDynamics',par_guess,'cd',aux,0);

時定数は、以下のように推定されます。

dcmm = greyest(z,dcmm,greyestOptions('Display','on'));

これで、モーターの時定数が直接推定されました。値は前の推定と非常によく一致しています。

dcmm

dcmm =
  Continuous-time linear grey box model defined by "motorDynamics" function:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
           x1      x2
   x1       0       1
   x2       0  -4.006
 
  B = 
       Voltage
   x1        0
   x2    1.001
 
  C = 
           x1  x2
   Angle    1   0
   AngVel   0   1
 
  D = 
           Voltage
   Angle         0
   AngVel        0
 
  K = 
        Angle  AngVel
   x1       0       0
   x2       0       0
 
  Model parameters:
   Par1 = 0.2496
 
Parameterization:
   ODE Function: motorDynamics
   (parametrizes both continuous- and discrete-time equations)
   Disturbance component: parameterized by the ODE function
   Initial state: parameterized by the ODE function
   Number of free coefficients: 1
   Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                         
Estimated using GREYEST on time domain data "z".
Fit to estimation data: [98.35;84.42]%          
FPE: 0.00107, MSE: 0.1193

このモデルを使用して、各種のテストに進むことができます。すべてのコマンドの構文は、前のケースと同じです。たとえば、idgrey モデルを他の状態空間モデルと比較できます。

compare(z,dcmm,dcmodel)

明らかに非常に近いものとなっています。

多変量 ARX モデルの推定

ツールボックスの状態空間部分では、多変量 (複数出力) ARX モデルも処理します。多変量 ARX モデルとは、以下を意味します。

A(q) y(t) = B(q) u(t) + e(t)

ここで、A(q) は ny | ny 行列で、その要素は、遅れ演算子 1/q の多項式となります。k-l 要素は、以下のように指定します。

$$a_{kl}(q)$$

ここで、

$$a_{kl}(q) = 1 + a_1 q^{-1} + .... + a_{nakl} q^{-nakl} q$$

したがって、次数 nakl の 1/q における多項式となります。

同様に、B(q) は ny | nu 行列で、その kj 要素は以下のとおりです。

$$b_{kj}(q) = b_0 q^{-nkk}+b_1 q^{-nkkj-1}+ ... +b_{nbkj} q^{-nkkj-nbkj}$$

入力番号 j から出力番号 k への遅延は nkkj です。これらを作成する最も一般的な方法は、ARX コマンドを使用することです。次数は、nn = [na nb nk] のように指定します。ここで na は ny-by-ny 行列、その kj 番目の要素は nakj です。nb と nk も同じように定義されます。

dc データでいくつかの ARX モデルをテストしてみましょう。まず、一般的な 2 次モデルを構築します。

dcarx1 = arx(z,'na',[2,2;2,2],'nb',[2;2],'nk',[1;1])

dcarx1 =
Discrete-time ARX model:                                                   
  Model for output "Angle": A(z)y_1(t) = - A_i(z)y_i(t) + B(z)u(t) + e_1(t)
    A(z) = 1 - 0.5545 z^-1 - 0.4454 z^-2                                   
                                                                           
    A_2(z) = -0.03548 z^-1 - 0.06405 z^-2                                  
                                                                           
    B(z) = 0.004243 z^-1 + 0.006589 z^-2                                   
                                                                           
  Model for output "AngVel": A(z)y_2(t) = - A_i(z)y_i(t) + B(z)u(t) + e_2(t)
    A(z) = 1 - 0.2005 z^-1 - 0.2924 z^-2                                    
                                                                            
    A_1(z) = 0.01849 z^-1 - 0.01937 z^-2                                    
                                                                            
    B(z) = 0.08642 z^-1 + 0.03877 z^-2                                      
                                                                            
Sample time: 0.1 seconds
  
Parameterization:
   Polynomial orders:   na=[2 2;2 2]   nb=[2;2]   nk=[1;1]
   Number of free coefficients: 12
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                  
Estimated using ARX on time domain data "z".             
Fit to estimation data: [97.87;83.44]% (prediction focus)
FPE: 0.002157, MSE: 0.1398

結果 dcarx1 は、IDPOLY モデルとして格納され、以前のすべてのコマンドが適用されます。たとえば、以下のように、ARX 多項式を明示的に求めることができます。

dcarx1.a

ans =

  2x2 cell array

    {[1 -0.5545 -0.4454]}    {[0 -0.0355 -0.0640]}
    {[ 0 0.0185 -0.0194]}    {[1 -0.2005 -0.2924]}

結果は cell 配列となり、たとえば dcarx1.a の {1,2} 要素は前述の多項式 A(1,2) で、y2 が y1 に関連付けられています。

また、構造をテストすることもできます。この場合、1 次フィルターで y2 を処理し、y1 が得られることがわかります (角度は、角速度の積分です)。さらに、入力から出力番号 2 への 1 次ダイナミクスを想定できます。

na = [1 1; 0 1];
nb = [0 ; 1];
nk = [1 ; 1];
dcarx2 = arx(z,[na nb nk])

dcarx2 =
Discrete-time ARX model:                                                   
  Model for output "Angle": A(z)y_1(t) = - A_i(z)y_i(t) + B(z)u(t) + e_1(t)
    A(z) = 1 - 0.9992 z^-1                                                 
                                                                           
    A_2(z) = -0.09595 z^-1                                                 
                                                                           
    B(z) = 0                                                               
                                                                           
  Model for output "AngVel": A(z)y_2(t) = B(z)u(t) + e_2(t)
    A(z) = 1 - 0.6254 z^-1                                 
                                                           
    B(z) = 0.08973 z^-1                                    
                                                           
Sample time: 0.1 seconds
  
Parameterization:
   Polynomial orders:   na=[1 1;0 1]   nb=[0;1]   nk=[1;1]
   Number of free coefficients: 4
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                  
Estimated using ARX on time domain data "z".             
Fit to estimation data: [97.52;81.46]% (prediction focus)
FPE: 0.003452, MSE: 0.177

構築した異なるモデルを比較するには、以下を使用します。

compare(z,dcmodel,dcmm,dcarx2)

最後に、異なるモデルの入力から出力で取得したボード線図を比較するには、bode を使用できます。最初の出力:

dcmm2 = idss(dcmm); % convert to IDSS for subreferencing
bode(dcmodel(1,1),'r',dcmm2(1,1),'b',dcarx2(1,1),'g')


Second output:
bode(dcmodel(2,1),'r',dcmm2(2,1),'b',dcarx2(2,1),'g')

最初のモデル 2 つは、ほぼ一致しています。ARX モデルは、方程式誤差による非ホワイト ノイズのためバイアスが生じており、あまり良好ではありません(シミュレーションでは、測定ホワイト ノイズが見られました)。

まとめ

事前に選択した構造によるモデルの推定は、System Identification ツールボックスを使用して実行できます。状態空間形式では、パラメーターは既知の値に固定することができ、また所定の範囲内に収まるよう制限することもできます。パラメーターや他の制約条件の間に関係を指定する必要がある場合、IDGREY オブジェクトを使用できます。IDGREY モデルは、状態空間システム パラメーターを推定するときに、ユーザー指定の MATLAB ファイルを評価します。多変量 ARX モデルでは、ユーザー指定の構造で複数出力のモデルを短時間で推定するため、別のオプションが使用できます。