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ENSO データのカスタム非線形解析

この例では、いくつかのカスタム非線形方程式を使用して ENSO データに当てはめます。ENSO データは、イースター島とオーストラリアのダーウィン間における大気圧の差の月平均で構成されています。この差により南半球の貿易風が発生します。

ENSO データは明らかに周期的であり、フーリエ級数で記述できることを示唆しています。

y(x)=a0+i=1aicos(2πxci)+bisin(2πxci)

ここで、ai および bi は振幅、ci はデータの周期です。ここで問題となるのは、周期がいくつ存在するかです。

最初の試みとして、単一周期を仮定し、余弦項と正弦項を 1 つずつ使用してデータに当てはめます。

y1(x)=a0+a1cos(2πxc1)+b1sin(2πxc1)

この近似でデータがうまく記述されない場合は、適切な近似が得られるまで一意の周期係数を含む余弦項と正弦項を追加します。

未知の係数 c1 が三角関数の引数の一部として含まれているため、この方程式は非線形です。

データの読み込みとライブラリおよびカスタムのフーリエ モデルによる近似

  1. データを読み込み、曲線近似アプリを開きます。

    load enso
    cftool

  2. ツールボックスにはフーリエ級数が非線形ライブラリ方程式として含まれています。ただし、ライブラリ方程式は、項が基本周波数 w の定数倍として定義されているため、この例のニーズを満たしません。詳細については、フーリエ級数を参照してください。組み込みライブラリ フーリエ近似を作成し、カスタム式と比較します。

    1. [X データ]month[Y データ]pressure を選択します。

    2. モデル タイプに [フーリエ] を選択します。

    3. [近似名]Fourier と入力します。

    4. 項数を [8] に変更します。

      ライブラリ モデル近似を観察します。以下の手順で、比較するカスタム式を作成します。

  3. 近似を複製します。[近似テーブル] で近似を右クリックし、["Fourier" の複製] を選択します。

  4. 新しい近似に Enso1Period という名前を付けます。

  5. 近似タイプを [フーリエ] から [カスタム式] に変更します。

  6. 方程式のエディット ボックスで例のテキストを次の内容に置き換えます。

    a0+a1*cos(2*pi*x/c1)+b1*sin(2*pi*x/c1)

    enso データに近似が適用されます。

このグラフィカルな結果と数値的な結果は、近似でデータが適切に記述されていないことを示しています。特に、c1 の近似値が極端に小さくなっています。開始点はランダムに選択されるため、最初の近似結果はこれらの結果と異なる場合があります。

既定の設定では、係数に範囲の制限がなく、係数の開始値は 0 から 1 までのランダムな値です。このデータには周期が約 12 か月の周期的な成分が含まれています。しかし、c1 に制約がなく開始点がランダムであるこの近似では、この周期を見つけることができませんでした。

近似オプションによる係数の制約

  1. 近似手順を支援するため、c1 の値を 10 から 14 までに制約します。[近似オプション] ボタンをクリックし、未知の係数の制約を表示して編集します。

  2. [近似オプション] ダイアログ ボックスで、既定の設定では係数に範囲の制約がない (範囲が -Inf から Inf まである) ことを観察します。

  3. c1[下限][上限] を次に示すように変更し、周期を 10 か月から 14 か月までに制約します。

  4. [閉じる] をクリックします。曲線近似アプリにより再近似が行われます。

  5. 新しい近似と残差のプロットを観察します。必要に応じて、[表示][残差プロット] を選択するか、ツール バー ボタンを使用します。

    この近似は一部のデータ点については妥当であるように見えますが、明らかにデータ セット全体を十分に記述できていません。予想どおり、[結果] ペインの数値結果 (c1=11.94) は周期がおよそ 12 か月であることを示しています。ただし、残差には体系的な周期分布が見られ、少なくとももう 1 つの周期が存在することを示しています。近似方程式に含める必要がある追加の周期が存在します。

項と制約を追加した 2 番目のカスタム近似の作成

近似を調整するために、次のように y1(x) に正弦項と余弦項を追加する必要があります。

y2(x)=y1(x)+a2cos(2πxc2)+b2sin(2πxc2)

さらに、c2 の上限と下限を c1 に使用される範囲のおよそ 2 倍に制約します。

  1. [近似テーブル] で近似を右クリックし、["Enso1Period" の複製] を選択して近似を複製します。

  2. 新しい近似に Enso2Period という名前を付けます。

  3. 次の項を前の方程式の末尾に追加します。

    +a2*cos(2*pi*x/c2)+b2*sin(2*pi*x/c2)

  4. [近似オプション] をクリックします。カスタム式を編集すると、近似オプションが記憶されます。c1[下限][上限] により、引き続き周期が 10 か月から 14 か月までに制約されていることを観察します。その他の近似オプションを追加します。

    1. c2[下限][上限]c1 に使用される範囲のおよそ 2 倍 (20<c2<30) になるように変更します。

    2. a0[開始点]5 に変更します。

    各設定を変更すると、曲線近似アプリにより再近似が行われます。近似および残差を次に示します。

近似は大部分のデータ点について妥当であるように見えます。ただし、残差は別の周期を近似方程式に含める必要があることを示しています。

項と制約を追加した 3 番目のカスタム近似の作成

3 番目の試みとして、y2(x) に正弦項と余弦項を追加します。

y3(x)=y2(x)+a3cos(2πxc3)+b3sin(2πxc3)

さらに、c3 の下限を c1 の値のおよそ 3 倍に制約します。

  1. [近似テーブル] で近似を右クリックし、["Enso2Period" の複製] を選択して近似を複製します。

  2. 新しい近似に Enso3Period という名前を付けます。

  3. 次の項を前の方程式の末尾に追加します。

    +a3*cos(2*pi*x/c3)+b3*sin(2*pi*x/c3)

  4. [近似オプション] をクリックします。前の近似オプションが引き続き存在することを観察します。

    1. c3[下限] を、c1 の値のおよそ 3 倍である 36 に変更します。

    2. ダイアログ ボックスを閉じます。曲線近似アプリにより再近似が行われます。近似および残差は次のようになります。

近似は前の 2 つの近似よりも改善されており、ENSO データセットの周期の大部分を説明しているように見えます。残差は大部分のデータについてランダムであるように見えます。ただし、追加の周期が存在する可能性がある、または振幅の近似を改善できることを示すパターンが依然として確認できます。

結論として、データのフーリエ解析により 3 つの主要な周期があることが明らかになりました。1 年周期が最も有力ですが、約 44 か月および 22 か月の周期も存在します。これらの周期は、エルニーニョ南方振動 (ENSO) に対応しています。