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B 型スプラインと平滑化スプライン

このツールボックスで、節点 tj, ..., tj+k をもつ B スプラインの定義は次で与えられます。

Bj,k(x)=B(x|tj,...,tj+k)=(tj+ktj)[tj,...,tj+k](x)+k1.

これは B スプラインのいくつかの妥当な正規化の 1 つにすぎません。次となるように選択されています。

j=1nBj,k(x)=1,tkxtn+1.

ただし、B スプラインの上記の公式を理解しようとする代わりに、GUI bspligui のリファレンス ページで B スプラインの基本プロパティを確認し、GUI を使用してこの興味深い関数を直接経験します。このツールボックスの目的の最も重要な特性は、その名前に文字 B が入っている理由でもあります。

"与えられた次数の(一変量) 区分的多項式の各空間がB スプラインで構成された基底 (Basis) をもつ (B スプラインの "B" の由来)。"

B スプラインのプロパティ

Bj,k は区間 (tj..tj+k) でのみ非ゼロになるため、内挿または最小二乗近似、あるいは微分方程式の近似解によって決定されるスプラインの B スプライン係数に対する線形システムは、"帯状" となり、その線形システムを特に簡単に解くことができます。たとえば、i=1, ..., n に対して s(xi)=yi となるように、節点シーケンス t1 ≤ t2 ≤··· ≤ tn+k を使用して次数 k のスプライン s を作成するには、次のように線形システムを使用します。

j=1nBj,k(xi)aj=yii=1:n

これは不明な B スプライン係数 aj を表し、各方程式に最大の k 非ゼロ エントリがあります。

また、スプラインに関する多くの理論事項は、B スプラインで最も簡単に記述または実証されます。たとえば、すべての j に対して Bj,k(xj)≠0 である場合に限り (Schoenberg-Whitney 条件)、節点シーケンス (t1, ..., tn+k) を使用して次数 k のスプラインで一意にサイト x1<<xn の任意のデータと一致させることができます。B スプラインでの計算には、安定した "再帰関係" を使用すると便利です。

Bj,k(x)=xtjtj+k1tjBj,k1(x)+tj+kxtj+ktj+1Bj+1,k1(x)

これは、B 型から pp 型への変換にも役立ちます。この双対関数を示します。

aj(s):=i<k(D)ki1Ψj(τ)Dis(τ)

は、tj と tj+k との間の任意のサイト τ において ψj(t):=(tj+1–t)··· (tj+k–1–t)/(k–1)! の場合の値および微分について、スプライン s の j 番目の B スプライン係数で役に立つ式を示します。これは、aj(s) が区間 [tj..tj+k] において s と密接に関係していることを示し、pp 型から b 型への変換の最も効率のよい方法と考えられます。

変分アプローチと平滑化スプライン

上記の "構造的" アプローチの他にもスプラインを得る方法はあります。"変分" アプローチでは、スプラインが "最適な内挿"、たとえば特定のサイトにおける、一致するすべての指定関数値の中で最も小さい m 次導関数をもつ関数として得られます。結局、それらの使用可能な多くのスプラインの中で、区分的多項式または (おそらく) 区分的指数のスプラインのみが多く使用されます。実際特に関心が高いのは、"平滑化スプライン" s = sp です。この場合、x∊[a..b]、すべての i および対応する正の重み wi を使用する特定のデータ (xi,yi) および特定の "平滑化パラメーター" p に対して、最小化を行います。

piwi|yif(xi)|2+(1p)ab|Dmf(t)|2dt

上記は m 階微分を持つすべての関数 f に対して行われます。これで、平滑化スプライン s は、すべてのデータ サイトにブレークを持つ次数 2m のスプラインであることがわかります。平滑化パラメーター p が適切に選択され、以下の "誤差測定"

E(s)=iwi|yis(xi)|2

小さくし、以下の "粗さ測定"

F(Dms)=ab|Dms(t)|2dt

小さくするという要求間の適切なバランスが保たれます。必要なのは、s のデータに含まれる情報をできる限り多くし、推定されるノイズをできる限り少なくすることです。このためのアプローチの 1 つ (spaps で使用される) は、E(f) を指定された許容誤差よりも大きくしないという条件に従って、F(Dmf) をできる限り小さくすることです。計算上、spaps は (等価の) 平滑化パラメーター ρ=p/(1–p) を使用します。つまり、ρE(f) + F(Dmf) を最小化します。これは柔軟性の高い粗さ測定を使用する場合にも役に立ちます。

F(Dms)=abλ(t)|Dms(t)|2dt

ここでは、λ に適切な正の重み関数を使用します。

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