モークリーの球面性の検定

応答変数の理論上の分布に複合対称性がある場合、反復測定 ANOVA (ranova) における通常の p 値は正しく計算されます。つまり、すべての応答変数の分散が同じであり、すべての組の応答変数も共通の相関をもっています。つまり、次のようになります。

$$\Sigma ={\sigma }^2\left(\begin{array}{cccc}1& \rho & \cdots & \rho \\ \rho & 1& \cdots & \rho \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \rho & \rho & \cdots & 1\end{array}\right).$$

複合対称性仮定が偽である場合、反復測定 ANOVA 検定の自由度を因子ε により調整しなければならず、また調整後の値を使用して p 値を計算しなければなりません。

複合対称性は球面性を暗示しています。

応答 y1、y2、... がある反復測定モデルでは、球面性とは組ごとの差 (y1 – y2、y1 – y3、...) の理論上の分散が同じになることを意味します。モークリーの検定は球面性の検定として最も広く受け入れられています。

モークリーの W 統計量は次のように表されます。

$$W=\frac{\left|T\right|}{{\left(trace\left(T\right)/p\right)}^d},$$

ここで

$$T=M\text{'}\widehat{\sum }M.$$

M は p 行 d 列の直交対比行列、Σ は共分散行列、p は変数の数、および d = p - 1 です。

カイ二乗検定量により、W の有意水準が評価されます。n が計画行列の行数で、r が計画行列のランクであるとすると、カイ二乗統計量は次のように表されます。

$$C=-\left(n-r\right)\log \left(W\right)D,$$

ここで

$$D=1-\frac{2d^2+d+2}{6d\left(n-r\right)}.$$

C 検定統計量には、自由度が (p(p – 1)/2) – 1 のカイ二乗分布があります。モークリーの検定で p の値が小さい場合、球面性仮定が成立しないことを表します。

モークリーの検定結果と各イプシロン値に基づいて、rmanova メソッドにより反復測定 ANOVA の p 値が計算されます。

参照

[1] Mauchly, J. W. “Significance Test for Sphericity of a Normal n-Variate Distribution. The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 11, 1940, pp. 204–209.

参考

ranova | epsilon | mauchly

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