so3

SO(3) 回転

R2022b 以降

説明

so3 オブジェクトは、右手直交座標系の 3 次元の SO(3) 回転を表します。

SO(3) 回転は、3 行 3 列の正規直交回転行列です。たとえば、これらは、それぞれ x 軸、y 軸、および z 軸を中心とした ϕ、ψ、θ の回転の正規直交回転行列です。

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

詳細については、3 次元の正規直交回転行列のセクションを参照してください。

このオブジェクトは数値行列のように機能し、乗算と除算を使用して回転を構成できるようになります。

作成

構文

rotation = so3

rotation = so3(rotation)

rotation = so3(quaternion)

rotation = so3(transformation)

rotation = so3(euler,"eul")

rotation = so3(euler,"eul",sequence)

rotation = so3(quat,"quat")

rotation = so3(axang,"axang")

rotation = so3(angle,axis)

説明

3 次元回転表現

rotation = so3 は、並進のない恒等回転を表す SO(3) 回転を作成します。

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

rotation = so3(rotation) は、正規直交回転 rotation によって定義される純粋な回転を表す SO(3) 回転を作成します。

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

rotation = so3(quaternion) は、四元数 quaternion で定義された回転から SO(3) 回転を作成します。

rotation = so3(transformation) は、SE(3) 変換 transformation から SO(3) 回転を作成します。

その他の数値の 3 次元回転表現

rotation = so3(euler,"eul") は、オイラー角 euler で定義された回転から SO(3) 回転を作成します。

rotation = so3(euler,"eul",sequence) はオイラー角回転のシーケンス sequence を指定します。たとえば、"ZYX" というシーケンスは、z 軸、y 軸、x 軸の順に回転させます。

rotation = so3(quat,"quat") は、四元数 quat で定義された回転から SO(3) 回転を作成します。

rotation = so3(axang,"axang") は、軸角度回転 axang で定義された回転から SO(3) 回転を作成します。

rotation = so3(angle,axis) は、回転軸 axis を中心とした回転 angles から SO(3) 回転を作成します。

メモ

入力に複数の回転が含まれる場合、出力 rotation は、各 N 入力回転に対応する so3 オブジェクトの N 要素配列になります。

入力引数

rotation — 正規直交回転

3 行 3 列の行列 | 3×3×N の行列 | so3 オブジェクト | so3 オブジェクトの N 要素配列

正規直交回転。3 行 3 列の行列、3×3×N の配列、スカラーの so3 オブジェクト、あるいは so3 オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は回転の合計数です。

rotation が配列の場合、出力配列内に作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: eye(3)

transformation — 同次変換

4 行 4 列の行列 | 4×4×N の配列 | se3 オブジェクト | se3 オブジェクトの N 要素配列

同次変換行列。4 行 4 列の行列または 4×4×N の配列、スカラーの se3 オブジェクト、あるいは se3 オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は指定された変換の合計数です。

transformation が配列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: eye(4)

データ型: single | double

quaternion — 四元数

quaternion オブジェクト | quaternion オブジェクトの N 要素配列

四元数。スカラーの quaternion オブジェクト、あるいは quaternion オブジェクトの N 要素配列として指定します。N は指定した四元数の合計数です。

quaternion が N 要素配列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: quaternion(1,0.2,0.4,0.2)

euler — オイラー角

N 行 3 列の行列

オイラー角。ラジアン単位の N 行 3 列の行列として指定します。各行は、引数 sequence で定義された軸回転シーケンスをもつオイラー角の 1 セットを表します。既定の軸回転シーケンスは ZYX です。

euler が N 行 3 列の行列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: [pi/2 pi pi/4]

データ型: single | double

sequence — 軸回転シーケンス

"ZYX" (既定値) | "ZYZ" | "ZXY" | "ZXZ" | "YXY" | "YZX" | "YXZ" | "YZY" | "XYX" | "XYZ" | "XZX" | "XZY"

オイラー角の軸回転シーケンス。以下のいずれかの string スカラーとして指定します。

• "ZYX" (既定)

• "ZYZ"

• "ZXY"

• "ZXZ"

• "YXY"

• "YZX"

• "YXZ"

• "YZY"

• "XYX"

• "XYZ"

• "XZX"

• "XZY"

これらは、それぞれ x 軸、y 軸、および z 軸を中心とした ϕ、ψ、θ の回転の正規直交回転行列です。

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

このシーケンスから回転行列を作成する際に、それぞれの文字は対応する軸を示します。たとえば、シーケンスが "XYZ" の場合、so3 オブジェクトは、x 軸を中心とした回転と y 軸を中心とした回転を乗算し、その積と z 軸を中心とした回転を乗算することによって回転行列 R を作成します。

$$R=R_x(\varphi )·R_y(\psi )·R_z(\theta )$$

例: so3([pi/2 pi/3 pi/4],"eul","ZYZ") は、z 軸を中心に点を pi/4 ラジアンだけ回転し、次にその点を y 軸を中心に pi/3 ラジアンだけ回転してから、その点を z 軸を中心に pi/2 ラジアンだけ回転します。これは、以下の式と等価です。so3(pi/2,"rotz") * so3(pi/3,"roty") * so3(pi/4,"rotz")

データ型: string | char

quat — 四元数

N 行 4 列の行列

四元数。N 行 4 列の行列として指定します。N は、指定された四元数の数です。各行は [qw qx qy qz] の形式の 1 つの四元数を表します。ここで、qw はスカラー数です。

quat が N 行 4 列の行列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

メモ

so3 オブジェクトは、四元数を回転行列に変換する前に、入力四元数を正規化します。

例: [0.7071 0.7071 0 0]

データ型: single | double

axang — 軸角度回転

N 行 4 列の行列

軸角度回転。[x y z theta] の形式で N 行 4 列の行列として指定します。N は軸角度回転の総数です。x、y、および z は、それぞれ x 軸、y 軸、z 軸からのベクトル成分です。ベクトルは、角度 theta (ラジアン単位) だけ回転する軸を定義します。

axang が N 行 4 列の行列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

例: [.2 .15 .25 pi/4] は、x 軸について 0.2、y 軸に沿って 0.15、z 軸に沿って 0.25 として定義された軸を pi/4 ラジアンだけ回転します。

データ型: single | double

angle — 単一軸角度回転

N 行 M 列の行列

単一軸角度回転。N 行 M 列の行列として指定します。行列の各要素は、引数 axis を使用して指定された軸を中心としたラジアン単位の角度であり、so3 オブジェクトは角度ごとに so3 オブジェクトを作成します。

angle が N 行 M 列の行列の場合、作成される so3 オブジェクトの結果の数は N に等しくなります。

回転角度は、指定軸に沿って原点に向かって見ると、反時計回りが正になります。

データ型: single | double

axis — 回転軸

"rotx" | "roty" | "rotz"

回転軸。次のオプションのいずれかとして指定します。

• "rotx" — x 軸を中心に回転します。

  $$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

• "roty" — y 軸を中心に回転します。

  $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$

• "rotz" — z 軸を中心に回転します。

  $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

引数 angle を使用して、指定した軸を中心に回転する量を指定します。

例: Rx = so3(phi,"rotx");

例: Ry = so3(psi,"roty");

例: Rz = so3(theta,"rotz");

データ型: string | char

オブジェクト関数

数学演算

mtimes, *	変換または回転の乗算
mrdivide, /	変換または回転の右除算
rdivide, ./	要素単位の変換または回転の右除算
times, .*	要素単位の変換または回転の乗算

ユーティリティ

interp	変換の間で内挿する
dist	変換間の距離を計算する
normalize	変換行列または回転行列を正規化する
transform	剛体変換を点に適用する

数値変換

axang	変換または回転を軸角度回転に変換する
eul	変換または回転をオイラー角に変換する
rotm	回転行列の抽出
quat	変換または回転を四元数に変換する
trvec	並進ベクトルを抽出する
tform	同次変換の抽出
xyzquat	変換または回転をコンパクトな 3 次元姿勢表現に変換する

オブジェクト変換

se3	SE(3) 同次変換
quaternion	quaternion 配列の作成

例

SO(3) 回転のオイラー角への変換

オイラー角で定義された SO(3) 回転を作成します。

eul1 = [pi/4 pi/3 pi/8]

eul1 = 1×3

    0.7854    1.0472    0.3927

R = so3(eul1,"eul")

R = so3
    0.3536   -0.4189    0.8364
    0.3536    0.8876    0.2952
   -0.8660    0.1913    0.4619

変換からオイラー角を取得します。

eul2 = eul(R)

eul2 = 1×3

    0.7854    1.0472    0.3927

アルゴリズム

3 次元の正規直交回転行列

SO(3) 回転行列は、3 次元ユークリッド空間での任意の回転を表す 3 行 3 列の正規直交行列です。SO(3) 回転には多くの特殊なプロパティがあります。たとえば、SO(3) 回転行列は 3 次元の特殊直交群に属しているため、2 つの SO(3) 回転行列の積は SO(3) 回転行列になります。これにより、複数の回転から回転を構成できます。たとえば、これらは、それぞれ x 軸、y 軸、および z 軸を中心とした ϕ、ψ、θ の回転の正規直交回転行列です。

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

これらの x 軸、y 軸、および z 軸の回転を乗算する順序に応じて、3 次元ユークリッド空間での任意の回転を表す複合行列を作成できます。

SO(3) 回転のその他のプロパティは次のとおりです。

• 各列は直交しており、単位ベクトルでもあります。つまり、どの列も互いの倍数ではありません。

• 行列の行列式は正の 1 です。

• 行列の逆行列は行列の転置と同じです。R^-1 = R^T。

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2022b で導入

R2023a: 新しいメソッドと構文

so3 は、他の変換や回転との間で変換を行うための新しいメソッドと構文をサポートしています。

新しいメソッドは次のとおりです。

• axang

• eul

• quat

• quaternion

• tform

• trvec

• xyzquat

参考

関数

• axang2rotm | eul2rotm | quat2rotm | tform2rotm | plotTransforms

オブジェクト

• se2 | se3 | so2 | quaternion