pu 単位系

pu 単位系とは

pu 単位系は電力業界で広く使用されており、さまざまな電力設備の電圧、電流、電力およびインピーダンスの値を表すことができます。これは一般に変圧器や AC マシンで使用されます。

所定の数量 (電圧、電流、電力、インピーダンス、トルクなど) の pu 値は、ベース数量に対する相対的な値です。

$$\text{base value in p}\text{.u}\text{. = }\frac{\text{quantity expressed in SI units}}{\text{base value}}$$

通常、以下の 2 つのベース値が選択されます。

• ベース電力 = 設備の定格電力

• ベース電圧 = 設備の定格電圧

その他すべてのベース数量はこの 2 つのベース数量から導出されます。ベース電力とベース電圧を選択すると、ベース電流とベース インピーダンスが電気回路の自然法則により決まります。

$$\begin{array}{l}\text{base current = }\frac{\text{base power}}{\text{base voltage}}\\ \text{base impedance = }\frac{\text{base voltage}}{\text{base current}}\text{= }\frac{{\text{(base voltage)}}^2}{\text{base power}}\end{array}$$

定格電圧が異なる複数の巻線をもつ変圧器の場合でも、すべての巻線に同じベース電力 (変圧器の定格電力) が使用されます。ただし、定義上、電圧、電流およびインピーダンスのベース値は巻線と同じ数だけ存在することになります。

可飽和変圧器の飽和特性は、瞬時鎖交磁束に対する瞬時電流の曲線という形式 ([i1 phi1; i2 phi2; ..., in phin]) で与えられます。

pu 単位系を使用して変圧器の R L パラメーターを指定する場合には、飽和特性の鎖交磁束と電流も pu で指定しなければなりません。対応するベース値は以下のとおりです。

$$\begin{array}{l}\text{base instantaneous current = (base rms current) }\times \sqrt{2}\\ \text{base flux linkage = }\frac{(\text{base rms voltage) }\times \sqrt{2}}{2\pi \times (\text{base frequency)}}\end{array}$$

電流、電圧および鎖交磁束はそれぞれボルト、アンペアおよびボルト秒で表されます。

AC マシンの場合、トルクと速度は pu 単位で表すこともできます。以下のベース数量が選択されます。

• ベース速度 = 同期速度

• ベース トルク = ベース電力と同期速度に対応するトルク

  $$\text{base torque = }\frac{\text{base power (3 phases) in VA}}{\text{base speed in radians/second}}$$

通常、回転子の慣性は、kg*m² で指定せずに、次の式で定義される慣性定数 H を指定します。

$$\begin{array}{c}H=\frac{\text{kinetic energy stored in the rotor at synchronous speed in joules}}{\text{machine nominal power in VA}}\\ H=\frac{\frac{1}{2}\times J\cdot w^2}{Pnom}\end{array}$$

慣性定数は秒単位で表されます。大きなマシンの場合、この定数は約 3 ～ 5 秒です。慣性定数が 3 秒であるということは、回転子部分に蓄えられたエネルギーが 3 秒間定格負荷を供給できるということです。小さなマシンの場合、H はこれより小さくなります。たとえば、3 HP のモーターでは 0.5 ～ 0.7 秒になることがあります。

例 1: 三相変圧器

たとえば、次のようなメーカー提供の典型的パラメーターをもつ三相 2 巻線変圧器を考えます。

• 定格電力 = 三相で合計 300 kVA

• 定格周波数 = 60 Hz

• 巻線 1: Y 結線、定格電圧 = 25 kV RMS (線間)

  抵抗 0.01 pu、漏れリアクタンス = 0.02 pu

• 巻線 2: Δ接続、定格電圧 = 600 V RMS (線間)

  抵抗 0.01 pu、漏れリアクタンス = 0.02 pu

• 定格電圧での磁化損失の定常電流における割合 (%):

  抵抗性電流 1%、誘導性電流 1%

各単相変圧器のベース値が最初に計算されます。

• 巻線 1:

  ベース電力	300 kVA/3 = 100e3 VA/相
  ベース電圧	25 kV/sqrt(3) = 14434 V RMS
  ベース電流	100e3/14434 = 6.928 A RMS
  ベース インピーダンス	14434/6.928 = 2083 Ω
  ベース抵抗	14434/6.928 = 2083 Ω
  ベース インダクタンス	2083/(2π*60)= 5.525 H

• 巻線 2:

  ベース電力	300 kVA/3 = 100e3 VA
  ベース電圧	600 V RMS
  ベース電流	100e3/600 = 166.7 A RMS
  ベース インピーダンス	600/166.7 = 3.60 Ω
  ベース抵抗	600/166.7 = 3.60 Ω
  ベース インダクタンス	3.60/(2π*60)= 0.009549 H

したがって、SI 単位で表される巻線抵抗および漏れインダクタンスの値は、以下のようになります。

• 巻線 1: R1= 0.01 * 2083 = 20.83 Ω、L1= 0.02*5.525 = 0.1105 H

• 巻線 2: R2= 0.01 * 3.60 = 0.0360 Ω、L2= 0.02 * 0.009549 = 0.191 mH

励磁回路の場合、抵抗性電流 1%、誘導性電流 1% の磁化損失とは、磁化抵抗 Rm が 100 pu 、磁化インダクタンス Lm が 100 pu であることを意味します。このため、巻線 1 に関連する値を SI 単位で表すと、以下のようになります。

• Rm = 100*2083 = 208.3 kΩ

• Lm = 100*5.525 = 552.5 H

例 2: Asynchronous Machine

次に、SI 単位で表された三相 4 極の Asynchronous Machine ブロックを考えます。定格は 3 HP、220 V RMS (線間)、60 Hz です。

固定子に関連する、固定子および回転子の抵抗およびインダクタンスは、以下のとおりです。

• Rs = 0.435 Ω、Ls = 2 mH

• Rr = 0.816 Ω、Lr = 2 mH

相互インダクタンスは Lm = 69.31 mH です。回転子の慣性は J = 0.089 kg.m² です。

1 つの相のベース数量は以下のように計算されます。

ベース電力	3 HP*746VA/3 = 746 VA/相
ベース電圧	220 V/sqrt(3) = 127.0 V RMS
ベース電流	746/127.0 = 5.874 A RMS
ベース インピーダンス	127.0/5.874 = 21.62 Ω
ベース抵抗	127.0/5.874 = 21.62 Ω
ベース インダクタンス	21.62/(2π*60)= 0.05735 H = 57.35 mH
ベース速度	1800 rpm = 1800*(2π)/60 = 188.5 ラジアン/秒
ベース トルク (三相)	746*3/188.5 = 11.87 ニュートンメートル

ベース値を使用して、pu 単位での値を計算することができます。

Rs = 0.435 / 21.62 = 0.0201 pu Ls = 2 / 57.35 = 0.0349 pu

Rr = 0.816 / 21.62 = 0.0377 pu Lr = 2 / 57.35 = 0.0349 pu

Lm = 69.31/57.35 = 1.208 pu

慣性は、慣性 J、同期速度および定格電力から計算されます。

$$H=\frac{\frac{1}{2}\times J\cdot w^2}{Pnom}=\frac{\frac{1}{2}\times 0.089\times {(188.5)}^2}{3\times 746}=0.7065\text{ seconds}$$

Simscape™ Electrical™ Specialized Power Systems Fundamental Blocks ライブラリの Machines ライブラリで提供されている、pu 単位の Asynchronous Machine ブロックのダイアログ ボックスを開くと、計算されているものは pu 単位のパラメーターであることがわかります。

瞬時電圧および電流波形のベース値

グラフまたはオシロスコープで瞬時電圧および電流波形を表示する場合は、定格正弦波電圧のピーク値を通常 1 pu と考えます。つまり、電圧と電流に使用されるベース値は、RMS 値に $$\sqrt{2}$$ を乗算したものです。

標準 SI 単位でなく pu 単位系を使用する理由

pu 単位系を使用する主な理由は、以下のとおりです。

• 値を pu 単位系で表すと、電気的数量を定格値と簡単に比較できるようになります。

  たとえば、過渡電圧が最大値 1.42 pu に達したと表せば、この電圧が定格値を 42% 超過していることがすぐにわかります。

• pu で表されたインピーダンス値は、電力や電圧の評価の影響を受けず、ほぼ一定しています。

  たとえば、3 ～ 300 kVA の電力範囲にあるすべての変圧器の場合、定格電圧に関係なく、漏れリアクタンスはほぼ 0.01 ～ 0.03 pu の間を変動し、巻線抵抗は 0.01 ～ 0.005 pu の間を変動します。300 kVA ～ 300 MVA の範囲にある変圧器の場合、漏れリアクタンスはほぼ 0.03 ～ 0.12 pu の間を変動し、巻線抵抗は 0.005 ～ 0.002 pu の間を変動します。

  同様に、突極同期機の場合、同期リアクタンス X_d は通常 0.60 ～ 1.50 pu で、初期過渡リアクタンス X'_d は通常 0.20 ～ 0.50 pu です。

  これは、10 kVA 変圧器のパラメーターがわからない場合に、漏れリアクタンス 0.02 pu、巻線抵抗 0.0075 pu という平均値を想定しても、大きな間違いにはならないということです。

pu 単位系を使用した計算は簡単です。多電圧電力システムのすべてのインピーダンスを共通の電力基準とサブネットワークごとの定格電圧で表現する場合、1 つの母線で観察される pu 単位のインピーダンスの合計値は、pu 単位のインピーダンスの値をすべて加算するだけで得られ、変圧比を考慮する必要はありません。