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範囲に制約のある二次の最小化

この例では、スパースで範囲制約付きの正定値 2 次問題に対する一部のオプション設定の効果を示します。

主対角線上のエントリが +4、非対角線上のエントリが -2、サイズが 400 x 400 の三重対角対称行列として、2 次行列 H を作成します。

Bin = -2*ones(399,1);
H = spdiags(Bin,-1,400,400);
H = H + H';
H = H + 4*speye(400);

400 番目を除くすべての成分で [0,0.9] の範囲を設定します。400 番目の成分は制限なしにできます。

lb = zeros(400,1);
lb(400) = -inf;
ub = 0.9*ones(400,1);
ub(400) = inf;

f(400) = 2 を設定することを除いて、線形ベクトル f を 0 に設定します。

f = zeros(400,1);
f(400) = -2;

Trust-Region-Reflective 法

'trust-region-reflective' アルゴリズムを使用して 2 次問題を解きます。

options = optimoptions('quadprog','Algorithm',"trust-region-reflective");
tic
[x1,fval1,exitflag1,output1] = ... 
        quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Local minimum possible.

quadprog stopped because the relative change in function value is less than the function tolerance.
time1 = toc
time1 = 0.1044

解を検証します。

fval1,exitflag1,output1.iterations,output1.cgiterations
fval1 = -0.9930
exitflag1 = 3
ans = 18
ans = 1682

アルゴリズムは、比較的少ない反復回数で収束しますが、CG (共役勾配) 反復を 1,000 回以上実行します。CG 反復を回避するには、代わりに直接ソルバーを使用するようにオプションを設定します。

options = optimoptions(options,'SubproblemAlgorithm','factorization');
tic
[x2,fval2,exitflag2,output2] = ... 
        quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Local minimum possible.

quadprog stopped because the relative change in function value is less than the function tolerance.
time2 = toc
time2 = 0.0185
fval2,exitflag2,output2.iterations,output2.cgiterations
fval2 = -0.9930
exitflag2 = 3
ans = 10
ans = 0

この場合、アルゴリズムは、反復回数がさらに減り、CG 反復を実行しません。比較的時間がかかる直接因子分解ステップにもかかわらず、解決時間が大幅に短縮されます。これは、ソルバーが多くの CG ステップを実行しないためです。

内点法

既定の 'interior-point-convex' アルゴリズムでこの問題を解くことができます。

tic
[x3,fval3,exitflag3,output3] = ... 
    quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub); % No options means use the default algorithm
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>
time3 = toc
time3 = 0.0402
fval3,exitflag3,output3.iterations
fval3 = -0.9930
exitflag3 = 1
ans = 8

結果の比較

すべてのアルゴリズムが、表示精度に対する同じ目的関数値 –0.9930 を示します。

'interior-point-convex' アルゴリズムの反復回数が最小になります。ただし、直接部分問題ソルバーを使用した 'trust-region-reflective' が最も速く解に到達します。

tt = table([time1;time2;time3],[output1.iterations;output2.iterations;output3.iterations],...
    'VariableNames',["Time" "Iterations"],'RowNames',["TRR" "TRR Direct" "IP"])
tt=3×2 table
                    Time      Iterations
                  ________    __________

    TRR            0.10443        18    
    TRR Direct    0.018544        10    
    IP            0.040204         8