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混合整数線形計画法の基礎: 問題ベース

この例では、混合整数線形問題を解く方法を説明します。この例は複雑ではありませんが、問題ベースの手法を使用して問題を定式化する一般的な手順を示しています。この例を示すビデオについては、Solve a Mixed-Integer Linear Programming Problem using Optimization Modeling を参照してください。

この問題に対するソルバーベースのアプローチについては、混合整数線形計画法の基礎: ソルバーベースを参照してください。

問題の説明

さまざまな化学組成の鋼鉄を融合して、特定の化学組成の 25 トンの鋼鉄を精製するものとします。精製された製品には、重量で炭素 5% とモリブデン 5% (つまり、炭素が 25 トン*5% = 1.25 トン、モリブデンが 1.25 トン) が含まれている必要があります。目的は鋼鉄の融合コストを最小化することです。

この問題は、Carl-Henrik Westerberg、Bengt Bjorklund および Eskil Hultman "An Application of Mixed Integer Programming in a Swedish Steel Mill" Interfaces February 1977 Vol. 7, No. 2 pp. 39–43 から引用されたものです。これらの要旨は https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39 で参照できます。

このために 4 つの鋼鉄のインゴットを購入できます。各インゴットの 1 つしか利用できません。

IngotWeightinTons%Carbon%MolybdenumCostTon1553$3502343$3303454$3104634$280

3 つのグレードの合金および 1 つのグレードの鋼鉄くずを購入できます。合金と鋼鉄くずは分割して購入できます。

Alloy%Carbon%MolybdenumCostTon186$500277$450368$400Scrap39$100

問題の定式化

問題を定式化するには、まず制御変数を決定します。変数 ingots(1) = 1 を取るとインゴット 1 の購入を意味し、ingots(1) = 0 を取るとインゴットを購入しないことを意味します。同様に、変数 ingots(2)ingots(4) は、インゴット 24 を購入するかどうかを示す 2 値変数です。

変数 alloys(1)alloys(3) は購入する合金 12、および 3 の量をトン単位で示します。scrap は購入する鋼鉄くずの量です。

steelprob = optimproblem;
ingots = optimvar('ingots',4,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
alloys = optimvar('alloys',3,'LowerBound',0);
scrap = optimvar('scrap','LowerBound',0);

変数と関連付けられたコストの式を作成します。

weightIngots = [5,3,4,6];
costIngots = weightIngots.*[350,330,310,280];
costAlloys = [500,450,400];
costScrap = 100;
cost = costIngots*ingots + costAlloys*alloys + costScrap*scrap;

問題に目的関数としてコストを含めます。

steelprob.Objective = cost;

この問題には 3 つの等式制約があります。最初の制約は総重量が 25 トンであることです。鋼鉄の重量を計算します。

totalWeight = weightIngots*ingots + sum(alloys) + scrap;

2 番目の制約は炭素の重量が 25 トンの 5% (1.25 トン) であることです。鋼鉄内の炭素の重量を計算します。

carbonIngots = [5,4,5,3]/100;
carbonAlloys = [8,7,6]/100;
carbonScrap = 3/100;
totalCarbon = (weightIngots.*carbonIngots)*ingots + carbonAlloys*alloys + carbonScrap*scrap;

3 番目の制約はモリブデンの重量が 1.25 トンであることです。鋼鉄内のモリブデンの重量を計算します。

molybIngots = [3,3,4,4]/100;
molybAlloys = [6,7,8]/100;
molybScrap = 9/100;
totalMolyb = (weightIngots.*molybIngots)*ingots + molybAlloys*alloys + molybScrap*scrap;

制約を問題に含めます。

steelprob.Constraints.conswt = totalWeight == 25;
steelprob.Constraints.conscarb = totalCarbon == 1.25;
steelprob.Constraints.consmolyb = totalMolyb == 1.25;

問題を解く

すべての入力を指定したら、ソルバーを呼び出します。

[sol,fval] = solve(steelprob);
Solving problem using intlinprog.
LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

解を表示します。

sol.ingots
ans = 4×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000

sol.alloys
ans = 3×1

    7.2500
         0
    0.2500

sol.scrap
ans = 3.5000
fval
fval = 8.4950e+03

最適購入コストは $8,495 です。インゴット 124 を購入し、3 を購入しません。合金 1 を 7.25 トン、合金 3 を 0.25 トン、鋼鉄くずを 3.5 トン購入します。

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