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表面に対する正接面の計算

この例では、有限差分によって関数の勾配を近似する方法を説明します。次に、これらの近似勾配を使用して、表面上の点に対して正接面をプロットする方法を示します。

関数ハンドルを使用して、関数 f(x,y)=x2+y2 を作成します。

f = @(x,y) x.^2 + y.^2;

関数 gradient を使用して、x および y に対する f(x,y) の偏導関数を近似します。メッシュ サイズと同じ長さの有限差分を指定します。

[xx,yy] = meshgrid(-5:0.25:5);
[fx,fy] = gradient(f(xx,yy),0.25);

表面上の点 P=(x0,y0,f(x0,y0)) に対する正接面は次の式で与えられます。

z=f(x0,y0)+f(x0,y0)x(x-x0)+f(x0,y0)y(y-y0).

行列 fxfy は偏導関数 fx および fy に対する近似です。この例の注目点は、正接面が関数の表面に接する点であり、(x0,y0) = (1,2) です。この注目点における関数値は f(1,2) = 5 です。

正接面 z を近似するには、この注目点における微分値を求める必要があります。この点のインデックスを取得し、そこで近似微分を求めます。

x0 = 1;
y0 = 2;
t = (xx == x0) & (yy == y0);
indt = find(t);
fx0 = fx(indt);
fy0 = fy(indt);

正接面 z の方程式を使用して関数ハンドルを作成します。

z = @(x,y) f(x0,y0) + fx0*(x-x0) + fy0*(y-y0);

元の関数 f(x,y)、点 P、および P において関数に接する正接 z をプロットします。

surf(xx,yy,f(xx,yy),'EdgeAlpha',0.7,'FaceAlpha',0.9)
hold on
surf(xx,yy,z(xx,yy))
plot3(1,2,f(1,2),'r*')

側面を表示します。

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参考

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