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一様分布 (連続)

概要

一様分布 (三角分布と呼ばれる場合もあります) は、2 つの境界パラメーター間に一定の確率分布関数 (pdf) が存在することで知られています。これは、小数点部分を特定の桁数にそろえた値の丸め誤差の分布を表す場合に適しており、逆関数法などの乱数発生法で使われます。

パラメーター

一様分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明制約
lower下限<lower<upper
upper上限lower<upper<

パラメーター推定

lower の最尤推定量 (MLE) は、標本の最小値です。upper の MLE は標本の最大値です。

確率密度関数

連続一様分布の確率密度関数 (pdf) は次のようになります。

f(x|lower,upper)={(1upperlower);lowerxupper0;otherwise.

確率密度関数では、lower と upper の間が一定です。

このプロットは、lower パラメーターと upper パラメーターの値の変化が、確率密度関数の形状にどのような影響を与えるかを示しています。

% Create three distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Uniform');
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2);
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1);

% Compute the pdfs
x = -3:.01:3;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

% Plot the pdfs
figure;
stairs(x,pdf1,'r','LineWidth',2);
hold on;
stairs(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
stairs(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
ylim([0 1.1]);
legend({'lower = 0, upper = 1','lower = -2, upper = 2',...
    'lower = -2, upper = 1'},'Location','NW');
hold off;

lower と upper 間の距離が大きくなるにつれて、分布境界内の特定の値における密度は低下します。密度関数は積分されて 1 になるため、幅が増加するにつれて確率密度関数のプロットの高さは低下します。

累積分布関数

連続一様分布の累積分布関数 (cdf) は、次のようになります。

F(x|lower,upper)={0;x<lowerxlowerupperlower;lowerx<upper1;xupper.

このプロットは、lower パラメーターと upper パラメーターの値の変化が、累積分布関数の形状にどのような影響を与えるかを示しています。

% Create three distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Uniform');
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2);
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1);

% Compute the cdfs
x = -3:.01:3;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

% Plot the cdfs
figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2);
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
ylim([0 1.1]);
legend({'lower = 0, upper = 1','lower = -2, upper = 2',...
    'lower = -2, upper = 1'},'Location','NW');
hold off;

記述統計

連続一様分布の平均と分散は、パラメーター lower および upper に関連しています。

平均は

mean=12(lower+upper).

です。

分散は

var=112(upperlower)2.

です。

他の分布との関係

標準一様分布 (lower = 0 および upper = 1) は、ベータ分布パラメーター a = 1b = 1 を設定することで取得されるベータ分布の特殊なケースです。

逆関数法は、連続標準一様分布を使って、他の任意の連続分布に対して乱数を生成します。逆関数法は、連続累積分布関数 (cdf) が開区間 (0,1) 全体にまたがって均一に分布するという原則に依存しています。u が (0,1) の均一な乱数である場合、x = F–1(u) は、累積分布関数 F が指定された任意の連続分布から乱数 x を生成します。

関連する例

詳細

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