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非心 t 分布

定義

非心 t 分布の最も一般的な表現は、とても複雑です。Johnson と Kotz [60] は、[–u, u] の範囲に存在する非心度 t 変数の確率を表す式を次のように表しました。

P(u<x<u|ν,δ)=j=0((12δ2)jj!eδ22)I(u2ν+u2|12+j,ν2)

I(x|ν,δ) は、パラメーター ν  と  δ をもつ不完全ベータ関数です。δ は非心度パラメーターで、ν は自由度です。

背景

非心 t 分布は、スチューデントの t 分布の一般化です。

自由度 n – 1 のスチューデントの t 分布は、t-統計量

t=x¯μs/n

をモデル化します。ここで、x¯ は、平均 μ をもつ正規母集団からのサイズ n の無作為標本の標本平均で、s は標本標準偏差です。母集団の平均が実際は μ0 である場合、t-統計量は、非心度パラメーターをもつ非心 t 分布に従います。

δ=μ0μσ/n

非心度パラメーターは、μ0μ の間の正規化された差です。

母集団平均が実際に μ0 である、すなわち、t 検定の指数を与える場合、非心 t 分布は、t 検定が平均 μ をもつ誤った帰無仮説を正しく棄却する確率を与えます。検定の検出力は、差 μ0μ の増加や、標本のサイズ n の増加と共に増加します。

非心 t 分布確率密度関数の計算

非心 t 分布の確率密度関数を、自由度 V = 10、非心度パラメーター DELTA = 1 を使用して計算します。比較のため、同じ自由度の t 分布の確率密度関数も計算します。

x = (-5:0.1:5)';
nct = nctpdf(x,10,1);
t = tpdf(x,10);

非心 t 分布の確率密度関数と t 分布の確率密度関数を、同じ Figure にプロットします。

plot(x,nct,'b-','LineWidth',2)
hold on
plot(x,t,'g--','LineWidth',2)
legend('nct','t')

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