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チャープ Z 変換

チャープ Z 変換 (CZT) は、単位円以外の等高線に沿った Z 変換の評価において有効です。チャープ Z 変換は、また、素数長の変換の計算では DFT アルゴリズムを使用するより効率的で、シーケンスの DFT のサブセットを計算する際にも役立ちます。チャープ Z 変換 (CZT) は、入力シーケンスに対し、z 平面上の螺旋等高線に沿って Z 変換を計算します。DFT とは異なり、CZT は単位円に沿った動作に制約されず、$$z_{\ell }=A{W}^{-\ell },\ell =0,\cdots ,M-1$$ で表される等高線に沿った Z 変換の評価において有効です。ここで、A は複素数で表した出発点、W は等高線上にある点の間の複素比を表す複素スカラー、M は変換の長さです。

可能な螺旋の 1 つとして次があります。

a = 0.8*exp(1j*pi/6);
w = 0.995*exp(-1j*pi*.05);
m = 91;
z = a*(w.^(-(0:m-1)'));
zplane(z)

czt(x,m,w,a) は、これらの点における x の Z 変換を計算します。

興味深くかつ有益な螺旋のセットは、$$A=1$$ および $$W=\exp (-j\pi /M)$$ でパラメーター化され、単位円に沿って等間隔に置かれた m 個のサンプルです。この等高線上での Z 変換は、czt によって得られる単純な DFT です。

M = 64;
m = 0:M-1;

x = sin(2*pi*m/15);
FFT = fft(x);
CZT = czt(x,M,exp(-2j*pi/M),1);

stem(m,abs(FFT))
hold on
stem(m,abs(CZT),'*')
hold off
legend('fft','czt','Location','north')

czt は、特定の奇数長、特に長い素数長シーケンスをもつシーケンスの DFT の計算では、関数 fft より高速となる場合があります。

参考

czt | fft