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pochhammer

説明

pochhammer(x,n)ポッホハマー記号 (x)n を返します。

数値入力およびシンボリック入力のポッホハマー記号を求める

n = 2 における数値入力 x = 3 のポッホハマー記号を求めます。

pochhammer(3,2)
ans =
    12

n = 3 におけるシンボリック入力 x のポッホハマー記号を求めます。関数 pochhammer は式の展開された形式を自動的に返しません。expand を使用して、pochhammer が展開された式の形式を返すように強制します。

syms x
P = pochhammer(x, 3)
P = expand(P)
P =
pochhammer(x, 3)
P =
x^3 + 3*x^2 + 2*x

ポッホハマーの出力の書き換えと因数分解

条件が満たされると、expandgamma を使用して解を書き換えます。

syms n x
assume(x>0)
assume(n>0)
P = pochhammer(x, n);
P = expand(P)
P =
gamma(n + x)/gamma(x)

変数を後の計算で使用するには、syms を使用して再作成することでそれらの仮定を消去します。

syms n x

pochhammer の展開された出力をその因子に変換するには、factor を使用します。

P = expand(pochhammer(x, 4));
P = factor(P)
P =
[ x, x + 3, x + 2, x + 1]

ポッホハマー記号の微分

x に対して pochhammer を 1 回微分します。

syms n x
diff(pochhammer(x,n),x)
ans =
pochhammer(x, n)*(psi(n + x) - psi(x))

n に対して pochhammer を 2 回微分します。

diff(pochhammer(x,n),n,2)
ans =
pochhammer(x, n)*psi(n + x)^2 + pochhammer(x, n)*psi(1, n + x)

ポッホハマー記号のテイラー級数展開

taylor を使用して n = 3pochhammer のテイラー級数展開を展開点 x = 2 の近傍で求めます。

syms x
taylor(pochhammer(x,3),x,2)
ans =
26*x + 9*(x - 2)^2 + (x - 2)^3 - 28

ポッホハマー記号のプロット

x に対するポッホハマー記号を n = 0 から n = 4 までプロットします。axis を使用して関心領域を表示します。

syms x
fplot(pochhammer(x,0:4))
axis([-4 4 -4 4])

grid on
legend('n = 0','n = 1','n = 2','n = 3','n = 4','Location','Best')
title('Pochhammer symbol (x)_n for n=0 to n=4')

Figure contains an axes object. The axes object with title P o c h h a m m e r blank s y m b o l blank ( x ) indexOf n baseline blank f o r blank n = 0 blank t o blank n = 4 contains 5 objects of type functionline. These objects represent n = 0, n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

入力引数

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入力。数値、ベクトル、行列または多次元配列、あるいはシンボリック数、変数、ベクトル、行列、多次元配列、関数または式として指定します。

入力。数値、ベクトル、行列または多次元配列、あるいはシンボリック数、変数、ベクトル、行列、多次元配列、関数または式として指定します。

詳細

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ポッホハマー記号

ポッホハマー記号は次のように定義されます。

(x)n=Γ(x+n)Γ(x),

ここで、Γ はガンマ関数です。

n が正の整数であれば、ポッホハマー記号は次のようになります。

(x)n=x(x+1)...(x+n1)

アルゴリズム

  • xn が数値であれば、陽的な数値が結果として返されます。それ以外の場合は、シンボリック関数呼び出しが返されます。

  • xx + n が両方とも非正の整数であれば、次のようになります。

    (x)n=(1)nΓ(1x)Γ(1xn).

  • 次の特殊なケースが実装されています。

    (x)0=1(x)1=x(x)1=1x1(1)n=Γ(n+1)(2)n=Γ(n+2)

  • n が正の整数である場合、expand(pochhammer(x,n)) は展開された多項式 x(x+1)...(x+n1) を返します。

  • n が整数ではない場合、expand(pochhammer(x,n))gamma を使って表現を返します。

バージョン履歴

R2014b で導入