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jacobiP

説明

jacobiP(n,a,b,x) は、x における n 次のヤコビ多項式をパラメーター a および b と共に返します。

数値入力およびシンボリック入力のヤコビ多項式を求める

数値入力の 2 次ヤコビ多項式を求めます。

jacobiP(2,0.5,-3,6)
ans =
    7.3438

シンボリック入力のヤコビ多項式を求めます。

syms n a b x
jacobiP(n,a,b,x)
ans =
jacobiP(n, a, b, x)

ヤコビ多項式の次数が指定されていない場合、jacobiP は多項式を求めることができず、関数呼び出しを返します。

ヤコビ多項式の次数を 1 に指定し、多項式を返すようにします。

J = jacobiP(1,a,b,x)
J =
a/2 - b/2 + x*(a/2 + b/2 + 1)

jacobiP を数値と共に直接呼び出し、ヤコビ多項式の数値を求めます。丸めにより結果が不正確なものとなるため、シンボリック多項式には代入しないでください。subs を使用してシンボリック多項式に代入してこれを試し、結果を数値呼び出しと比較します。

J = jacobiP(300, -1/2, -1/2, x);
subs(J,x,vpa(1/2))
jacobiP(300, -1/2, -1/2, vpa(1/2))
ans =
101573673381249394050.64541318209
ans =
0.032559931334979678350422392588404

subs を使用してシンボリック多項式に代入した場合、数値の結果には丸め誤差が生じます。jacobiP を数値で直接呼び出した場合は正確になります。

ベクトルおよび行列の入力によりヤコビ多項式を求める

a = 3 および b = 1 について n = [1 2] を設定して 1 次および 2 次のヤコビ多項式を求めます。

syms x
jacobiP([1 2],3,1,x)
ans =
[ 3*x + 1, 7*x^2 + (7*x)/2 - 1/2]

jacobiPn の要素ごとに働き、2 つのエントリを含むベクトルを返します。

複数の入力がベクトル、行列または多次元配列として指定されている場合、これらの入力は同じサイズでなければなりません。a = [1 2;3 1]b = [2 2;1 3]n = 1 および x のヤコビ多項式を求めます。

a = [1 2;3 1];
b = [2 2;1 3];
J = jacobiP(1,a,b,x)
J =
[ (5*x)/2 - 1/2,     3*x]
[       3*x + 1, 3*x - 1]

jacobiPa および b の要素ごとに働き、a および b と同じサイズの行列を返します。

ヤコビ多項式のゼロの可視化

a = 3b = 3 および -1<x<1 に対し、1 次、2 次および 3 次のヤコビ多項式をプロットします。プロットを見やすくするため、axis を使用して軸の範囲を設定します。

syms x
fplot(jacobiP(1:3,3,3,x))
axis([-1 1 -2 2])
grid on

ylabel('P_n^{(\alpha,\beta)}(x)')
title('Zeros of Jacobi polynomials of degree=1,2,3 with a=3 and b=3');
legend('1','2','3','Location','best')

重み関数に対するヤコビ多項式の直交性の証明

ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) は、区間 [-1,1] において重み関数 (1x)a(1x)b と直交します。

区間 [-1,1] についてヤコビ多項式と重み関数の積を積分することによって、P(3,a,b,x) および P(5,a,b,x) が重み関数 (1x)a(1x)b と直交することを証明します。ここで a = 3.5 かつ b = 7.2 です。

syms x
a = 3.5;
b = 7.2;
P3 = jacobiP(3, a, b, x);
P5 = jacobiP(5, a, b, x);
w = (1-x)^a*(1+x)^b;
int(P3*P5*w, x, -1, 1)
ans =
0

入力引数

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ヤコビ多項式の次数。非負の整数、あるいは非負の整数のベクトル、行列または多次元配列、あるいはシンボリックな非負の整数、変数、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

入力。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリックな数値、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

入力。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリックな数値、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

評価点。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリックな数値、ベクトル、行列、関数、式または多次元配列として指定します。

詳細

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ヤコビ多項式

ヤコビ多項式は次の再帰式によって与えられます。

2ncnc2n2P(n,a,b,x)=c2n1(c2n2c2nx+a2b2)P(n1,a,b,x)2(n1+a)(n1+b)c2nP(n2,a,b,x),wherecn=n+a+bP(0,a,b,x)=1P(1,a,b,x)=ab2+(1+a+b2)x.

固定された実数の a > -1 および b > -1 に対して、ヤコビ多項式は区間 [-1,1] で重み関数 w(x)=(1x)a(1+x)b と直交します。

a = 0 および b = 0 に対して、ヤコビ多項式 P(n,0,0,x) はルジャンドル多項式 P(n, x) に簡約されます。

ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) と第 1 種チェビシェフ多項式 T(n,x) の関係は次のとおりです。

T(n,x)=22n(n!)2(2n)!P(n,12,12,x).

ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) と第 2 種チェビシェフ多項式 U(n,x) の関係は次のとおりです。

U(n,x)=22nn!(n+1)!(2n+1)!P(n,12,12,x).

ヤコビ多項式 P(n,a,b,x) とゲーゲンバウアー多項式 G(n,a,x) の関係は次のとおりです。

G(n,a,x)=Γ(a+12)Γ(n+2a)Γ(2a)Γ(n+a+12)P(n,a12,a12,x).

R2014b で導入