風力タービンで作り出される平均電力の評価

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この例では、Symbolic Math Toolbox™ と Statistics and Machine Learning Toolbox™ を使用して、風力タービンが生み出す平均電力を調べ、パラメトリック解析式を導きます。

パラメトリック方程式は、さまざまな風力タービン構成や風力発電プラント用地を評価する場合に使用できます。詳細は、Wind Resource Assesment を参照してください。

問題の背景

風力タービンに供給される全電力は、風の運動エネルギーの導関数を計算して推定できます。これにより以下の式が得られます。

$P_{w} = \frac{ρ {A u}^{3}}{2}$ (1)

A はタービンブレードの受風面積 ( $m^{2}$ )
ρ = 空気密度 ( $kg / m^{3}$ )
u = 風速 ( $m / s$ )

次の図に示すように、風力を電力に変換する過程で効率損失が発生します。

実際の風力タービンの電力出力は次の方程式で表すことができます。

$P_{e} = \frac{C_{tot} ρ {Au}^{3}}{2}$ (2) ここで $C_{tot} = overall efficiency = C_{p} C_{t} C_{g}$

全効率は 0.3 から 0.5 の範囲で、タービンの風速および回転速度で変化します。回転速度を固定した場合、風力タービンで生成される電力がほぼ最大 ( $P_{er}$ ) になる定格の風速が存在し、この点での全効率は $C_{totR}$ で表されます。

$P_{er} = \frac{C_{totR} ρ {Au}^{3}}{2}$ (3)

固定の回転速度を仮定すると、風力タービンの電力出力は次のプロファイルを使用して推定できます。

ここで

$u_{r}$ = 定格の風速
$u_{c}$ = カットイン速度 (電力出力が 0 を超えて発電が開始される速度)
$u_{f}$ = ファーリング風速 (構造への被害を防ぐためにタービンが停止する速度)

図に示すように、出力電力は $u_{c}$ と $u_{r}$ の間で上昇した後、 $u_{r}$ と $u_{f}$ の間で一定の最大値になります。その他すべての条件における電力出力は 0 です。

風力タービンの平均電力に関する方程式の導出

I. 電力の区分的式を定義

タービンの電力を記述した区分的関数を定義します。

syms Per C_1 C_2 k u u_c u_f u_r 
Pe = piecewise(u < u_c, 0, u_c <= u <= u_r, C_1 + C_2 * u^k, (u_r <= u) <= u_f, Per, u_f < u, 0)

Pe = 
 ${\begin{array}{cl} 0 & if u < u_{c} \\ C_{1} + C_{2} u^{k} & if u_{c} \leq u \land u \leq u_{r} \\ Per & if u \leq u_{f} \land u_{r} \leq u \\ 0 & if u_{f} < u \end{array}$

ここで、変数 $C_{1}$ と $C_{2}$ は次のように定義されます。

C_1 = (Per * u_c^k)/(u_c^k - u_r^k)

C_1 = 
 $\frac{Per {u_{c}}^{k}}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

C_2 = Per/(u_r^k - u_c^k)

C_2 = 
 $- \frac{Per}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

II. 外部の風力条件の定義

定格の電力出力は、風力タービンで可能な発電量の適切な目安を与えますが、風力タービンが実際に作り出す電力 (平均) を推定してみましょう。平均電力を計算するには、外部の風力条件を考慮する必要があります。ワイブル分布は風力の分散のモデル化で役立ちます。したがって、次の確率密度関数を使用して風力プロファイルを推定できます。

$f (u) = \frac{(\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1}}{e^{{(\frac{u}{a})}^{b}}}$ (4)

一般に、'a' 値が大きくなると、風速の中央値が高くなり、'b' 値が大きくなると、ばらつきが小さくなることを意味します。

Statistics and Machine Learning Toolbox を使用してワイブル分布 (Statistics and Machine Learning Toolbox)を生成し、風力発電プラント用地 (a=12.5, b=2.2) の風力の変動を示します。

a = 12.5;
b = 2.2;
N = 1000;
pd = makedist('Weibull','a',a,'b',b)

pd = 
  WeibullDistribution

  Weibull distribution
    A = 12.5
    B =  2.2

r = wblrnd(a,b,[1 N])

r = 1×1000

    6.0811    4.3679   17.3751    4.1966    8.7677   18.3517   13.9761    9.9363    3.0039    2.7496   16.5233    2.5333    3.0151   10.7854    6.3169   16.9442   11.6922    4.1418    6.4460    2.9379    8.4449   21.6033    5.4887    3.6903    8.1241    6.9789    7.1974   12.1293    8.4485   16.1833    7.7371   21.9390   14.0043   20.8297   18.3668    5.9351    7.8970   13.3122    3.2335   21.7093   11.4461   12.2905    6.8609    6.3983   15.8128   10.7241   11.3478    8.5754    7.6896    7.0249

x = linspace(0,34,N);
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold on 
histogram(r,15,'Normalization','pdf')
hold off
title('Weibull Distribution of Wind Speeds')
xlabel('Wind Speed (m/s)')

Figure contains an axes object. The axes object with title Weibull Distribution of Wind Speeds, xlabel Wind Speed (m/s) contains 2 objects of type line, histogram.

III. 平均電力の計算

風力タービンの平均電力出力は次の積分で得られます。

$P e_{a v e r a g e} = \int_{0}^{\infty} P e (u) f (u) d u$ (5)

風速がカットイン風速 $u_{c}$ より小さい場合やファーリング風速 $u_{f}$ より大きい場合、電力はゼロになります。したがって、積分は次のように表現できます。

$P e_{a v e r a g e} = C_{1} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} f (u) d u) + C_{2} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} u^{b} f (u) d u) + P e r (\int_{u_{r}}^{u_{f}} f (u) d u)$ (6)

方程式 (7) に独立した積分が 2 つ存在します。方程式 (4) をこれらの積分に入れ、 $x = {(\frac{u}{a})}^{b}$ および $d x = (\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1} d u$ の置き換えを使用して単純化します。これは元の積分を以下のように単純化します。

$\int f (u) d u = \int \frac{1}{e^{x}} d x$ (7)

$\int u^{b} f (u) d u = a^{b} (\int \frac{x}{e^{x}} d x)$ (8)

これらの積分を解いた後、x を ${(\frac{u}{a})}^{b}$ に置き換えると、以下が得られます。

syms a b x
int1 = int(exp(-x), x);
int1 = subs(int1, x, (u/a)^b)

int1 = 
 $- e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}}$

int2 = int(x * exp(-x) * a^b, x);
int2 = subs(int2, x, (u/a)^b)

int2 = 
 $- a^{b} e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}} ({(\frac{u}{a})}^{b} + 1)$

結果を方程式 (6) に代入すると、風力タービンの平均電力出力の方程式が得られます。

Peavg = subs(C_1 * int1, u, u_r) - subs(C_1 * int1, u, u_c) + subs(C_2 * int2, u, u_r) - subs(C_2 * int2, u, u_c) + subs(Per * int1, u, u_f) - subs(Per * int1, u, u_r)

Peavg = 
 $\begin{array}{l} Per σ_{2} - Per e^{- {(\frac{u_{f}}{a})}^{b}} + \frac{Per {u_{c}}^{k} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}}}{σ_{1}} - \frac{Per {u_{c}}^{k} σ_{2}}{σ_{1}} - \frac{Per a^{b} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}} ({(\frac{u_{c}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} + \frac{Per a^{b} σ_{2} ({(\frac{u_{r}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = {u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k} \\ σ_{2} = e^{- {(\frac{u_{r}}{a})}^{b}} \end{array}$

IV. まとめ

Symbolic Math Toolbox を使用してパラメトリック方程式を作成しました。これを使用すると、さまざまな風力タービン構成や風力発電プラント用地の平均発電量を判定するためのシミュレーション調査を行うことができます。