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euler

オイラー数とオイラー多項式

説明

euler(n) は、n 番目のオイラー数を返します。

euler(n,x) は、n 番目のオイラー多項式を返します。

偶数項と奇数項のオイラー数

偶数項のオイラー数では、正の数と負の数が交互に並びます。奇数項をもつオイラー数は、0 になります。

0 から 10 までの偶数項のオイラー数を計算します。

euler(0:2:10)
ans =
           1          -1           5         -61...
        1385      -50521

1 から 11 までの奇数項のオイラー数を計算します。

euler(1:2:11)
ans =
     0     0     0     0     0     0

オイラー多項式

オイラー多項式では、2 つの入力引数を使用する euler を使用します。

オイラー多項式の変数 xy および z について、それぞれの 1 次、2 次および 3 次導関数を計算します。

syms x y z
euler(1, x)
euler(2, y)
euler(3, z)
ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + 1/4

2 番目の引数が数値である場合、euler はその数について多項式を評価します。ここでは、入力引数はシンボリック数ではないので結果は浮動小数点数になります。

euler(2, 1/3)
ans =
   -0.2222

シンボリック厳密解の結果を取得するためには、少なくとも 1 つの数値をシンボリック オブジェクトに変換します。

euler(2, sym(1/3))
ans =
-2/9

オイラー多項式のプロット

最初の 6 つのオイラー多項式をプロットします。

syms x
fplot(euler(0:5, x), [-1 2])
title('Euler Polynomials')
grid on

オイラー多項式を含む式の処理

diffexpand など、多くの関数は euler を含む式を処理することができます。

オイラー多項式の 1 次および 2 次導関数を求めます。

syms n x
diff(euler(n,x^2), x)
ans =
2*n*x*euler(n - 1, x^2)
diff(euler(n,x^2), x, x)
ans =
2*n*euler(n - 1, x^2) + 4*n*x^2*euler(n - 2, x^2)*(n - 1)

オイラー多項式を含む式を展開します。

expand(euler(n, 2 - x))
ans =
2*(1 - x)^n - (-1)^n*euler(n, x)
expand(euler(n, 2*x))
ans =
(2*2^n*bernoulli(n + 1, x + 1/2))/(n + 1) -...
(2*2^n*bernoulli(n + 1, x))/(n + 1)

入力引数

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オイラー数またはオイラー多項式のインデックス。非負の整数、シンボリックな非負の整数、変数、式、関数、ベクトルまたは行列として指定します。n がベクトルまたは行列の場合、eulern の要素ごとにオイラー数またはオイラー多項式を返します。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、euler(n,x) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

多項式の変数。シンボリック変数、式、関数、ベクトルまたは行列として指定します。x がベクトルまたは行列の場合、eulerx の要素ごとにオイラー数またはオイラー多項式を返します。euler 関数を使用してオイラー多項式を求める場合、少なくとも 1 つの引数はスカラーであるか、または両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、euler(n,x) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

詳細

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オイラー多項式

オイラー多項式は、以下のように定義されます。

2extet+1=n=0euler(n,x)tnn!

オイラー数

オイラー数は、オイラー多項式によって以下のように定義されます。

euler(n)=2neuler(n,12)

ヒント

  • オイラー数 e = 2.71828… の他の意味については、exp(1) を呼び出して倍精度表現を返します。オイラー数 e を正確に表現するには、exp(sym(1)) を呼び出します。

  • オイラー・マスケローニ定数については、eulergamma を参照してください。

R2014a で導入