コックス比例ハザードモデルオブジェクト

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この例では、CoxModel オブジェクトを使用してコックス比例ハザードモデルの当てはめと解析を行う方法を示します。コックス比例ハザードモデルは、寿命や故障時間のデータに関連するモデルです。背景については、生存時間分析とはおよびコックス比例ハザードモデルを参照してください。

予測子と階層化レベル

コックス比例ハザードモデルの主要な仮定は、ハザード率 (瞬間故障率または事象率を意味する) がすべての時間 $t$ において基本レート $h_{0} (t)$ に比例するというものです。比例定数は予測子 (一部の文献では共変量と呼ばれる) の値に依存します。係数 $b_{j}$ が関連付けられた予測子 $X = [x_{1}, x_{2}, . . ., x_{j}]$ のハザード率は次のようになります。

$h (X, t) = h_{0} (t) \exp (X \cdot b)$ .

この例では、3 つの階層化レベルにコックス比例ハザードモデルの拡張を使用します。コックス比例ハザードモデルの拡張を参照してください。層化コックスモデルには固定数の基本レート $h_{1} (t), h_{2} (t), \dots, h_{n} (t)$ があり、すべての階層化レベルに同じ予測子と係数が使用されます。

比例ハザードの仮定は、予測子が時間に依存しないことを意味します。時間に依存するデータをモデルに含めることもできます。比例ハザードの仮定を維持しながらこれを行うには、階層化モデルを作成します。カテゴリ化可能なデータの場合は、データのレベルごとに階層化を 1 つ作成します。これにより、それぞれの階層化で異なる基本レートが使用されます。基本レートが時間によって変わるため、比例ハザードの仮定が維持されます。時間に依存するデータの値を階層化の値として与えると、学習済みモデルから異なるハザード率が出力されます。

当てはめ用のデータの作成

次のタイプのハザード率をもつ 3 つの寿命のモデル用のデータを生成します。これらのモデルは 3 つの階層化レベルに対応します。

バスタブ $h_{1} (t)$ (故障率が最初は高く、低いレベルまで低下した後、一定のレベルまで上昇)
対数的に増加: $h_{2} (t) = \log (x) / 10$
$h_{3} (t) = 1 / 4$ で一定

3 つのモデルは、基準ハザード率について 3 つの乗算器をもつ 1 つの予測子を共有します。

1
1/20
1/100

データには、各階層化レベルと各予測子レベルから 1 つずつの組み合わせで、合計 9 種類の母集団メンバーがあります。バスタブと対数のハザード率を作成する関数については、この例の終わりにある補助関数のセクションで示しています。

予測子の値が 1 の場合の 3 つのハザード率をプロットします。

t = linspace(1,40);
plot(t,hazard(t),t,log(t)/10,t,1/4*ones(size(t)))
legend('Hazard 1','Hazard 2','Hazard 3','Location','northeast')
ylim([0 1])
xlabel("Time")
ylabel("Hazard Rate")

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Time, ylabel Hazard Rate contains 3 objects of type line. These objects represent Hazard 1, Hazard 2, Hazard 3.

9 つのモデルに関連付けられる寿命の疑似乱数データを作成します。累積分布を反転して、無作為に選択される 9000 の標本 (各タイプ約 1000) を作成します (詳細については、Inverse transform sampling を参照)。

N = 9000;
rng default % For reproducibility
mults = [1;1/20;1/100]; % Three predictors
strata = randi(3,N,1); % Three strata
t1 = zeros(N,1);
a0 = randi(3,N,1); % Predictor
a1 = mults(a0);
v1 = rand(N,1);
for i = 1:N
    switch strata(i)
        case 1 % Bathtub
            t1(i) = zeropt(a1(i),v1(i));
        case 2 % Logarithmic
            t1(i) = zeroptold(a1(i),v1(i));
        case 3 % Constant
            t1(i) = 1 + exprnd(4/a1(i));
    end
end

データを table に読み込みます。

a3 = categorical(a1);
tbldata = table(t1,a3,strata,'VariableNames',["Lifetime" "Predictors" "Strata"]);

コックスモデルの当てはめ

層化コックス比例ハザードモデルを table データに当てはめます。

coxMdl = fitcox(tbldata,'Lifetime ~ Predictors',"Stratification",'Strata');

生存時間のプロット

予測子の値 pred = 1 (またはこの例の実行時に任意の値を指定) と 3 つの階層化レベルについて、生存の確率を時間の関数としてプロットします。

pred = 1;
cpred = categorical(pred);
plotSurvival(coxMdl,[cpred;cpred;cpred],[1;2;3])
xlim([1,10/pred + 20])

Figure contains an axes object. The axes object with title Estimated Survival Probability, xlabel Time, ylabel Survival Probability contains 3 objects of type stair. These objects represent X=1, Stratification=1, X=1, Stratification=2, X=1, Stratification=3.

それぞれの予測子についてハザード率は比例していますが、基になるハザード関数が異なるため 3 つの生存のプロットは比例していません。

当てはめの解析

当てはめたモデルの係数を調べます。

disp(coxMdl.Coefficients)

                        Beta        SE       zStat     pValue
                       ______    ________    ______    ______

    Predictors_0.05    1.5301    0.031783    48.143      0   
    Predictors_1       4.5593    0.052149    87.427      0

pValue のエントリが 0 になっていることに注意してください。これは、リストされた予測子の Beta の値が 0 でないことを意味します。

モデルの係数の有意水準 0.01 における信頼区間を表示します。

coefci(coxMdl,0.01)

ans = 2×2

    1.4483    1.6120
    4.4249    4.6936

水準 0.01 の予測子のハザードを推定するために、コックスモデルの定義を思い出してください。

$h (X_{i}, t) = h_{0} (t) \exp (\sum x_{i j} b_{j})$ .

関数 fitcox は、ダミー変数と参照グループを使用してカテゴリカルデータを扱います。このケースでは、水準 0.01 の予測子が参照グループとして扱われ、モデルの当てはめにおいてすべて 0 として符号化されます。ハザード関数にすべての 0 を入力すると次のようになります。

$h ([0, 0], t) = h_{0} (t) \exp (0 * b 1 + 0 * b 2) = h_{0} (t) \exp (0) = h_{0} (t) .$

$h_{0} (t)$ はベースラインハザードで、coxMdl.Hazard に格納されています。したがって、水準 0.01 の予測子のハザードを取得するには coxMdl.Hazard を調べればよいことがわかります。3 つの階層化レベルのベースライン累積ハザードをプロットします。

figure
hold on
for i = 1:3
    pred3 = find(coxMdl.Hazard(:,3) == i); % Find indices of stratification i
    plot(coxMdl.Hazard(pred3,1),coxMdl.Hazard(pred3,2))
end
xlabel('Time')
ylabel('Cumulative Hazard')
xlim([1 300])
legend('X = 0.01, Stratification 1',...
    'X = 0.01, Stratification 2',...
    'X = 0.01, Stratification 3','Location','northwest')
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Time, ylabel Cumulative Hazard contains 3 objects of type line. These objects represent X = 0.01, Stratification 1, X = 0.01, Stratification 2, X = 0.01, Stratification 3.

他の予測子の値の累積ハザードは、ベースライン累積ハザードの $\exp (B e t a)$ 倍になります。 $B e t a$ は推定された係数です。

disp(exp(coxMdl.Coefficients.Beta))

    4.6188
   95.5127

これらの相対ハザードの値は、乗算器 1、1/20、および 1/100 で生成されたデータの理論値に近い値になります。ベースライン値は 1/100 の乗算器に対応するため、理論上の乗算器は 5 と 100 です。

linhyptest のテーブルを表示します。

linhyptest(coxMdl)

ans=2×2 table
         Predictor         pValue
    ___________________    ______

    {'Empty Model'    }      0   
    {'Predictors_0.05'}      0

ここでも、値 1/20 の予測子と値 1 の予測子がモデルに必要になります。

このデータがコックス比例ハザードモデルによるデータであるという仮説を支持するデータであるかどうかを確認します。

supports = coxMdl.ProportionalHazardsPValueGlobal

supports = 0.9730

この検定の帰無仮説は、このデータがコックス比例ハザードモデルによるデータであるということです。この仮説を棄却するには、supports の有意水準が 0.05 未満のような小さい値でなければなりません。この統計は、データがコックスモデルと一致するという仮説がサポートされることを示します。

ハザード率の確認

3 つの階層化レベルについて、予測子の値 1、1/20、および 1/100 のベースライン 0 に対するハザード率を計算します。

hazards = hazardratio(coxMdl,...
    categorical([1;1;1;1/20;1/20;1/20;1/100;1/100;1/100]),...
    [1;2;3;1;2;3;1;2;3],'Baseline',0)

hazards = 9×1

   95.5127
   95.5127
   95.5127
    4.6188
    4.6188
    4.6188
    1.0000
    1.0000
    1.0000

ハザード率は、前のセクションで説明したとおり、理論値の 100、5、および 1 に近い値になっています。ハザード率は階層化レベルには依存していません。

ハザードが一定の階層化レベルが理論とどの程度一致するかの検証

階層化レベル 3 のハザード率は 1/4 で一定です。理論的には、一定なハザード率は、対数が直線である指数生存時間関数を意味します。予測子の値 1/20 を使用してレベル 3 の階層化の生存時間をプロットします。指数の率は 1/80 になります。

tt = categorical(1/20);
h = figure;
axes1 = axes('Parent',h);
plotSurvival(coxMdl,axes1,tt,3);
xlim([1 400]);
axes1.YScale = 'log';
hold on
tms = linspace(1,400);
semilogy(tms,exp(-tms/80),'r--')
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title Estimated Survival Probability, xlabel Time, ylabel Survival Probability contains 2 objects of type stair, line. This object represents X=0.05, Stratification=3.

データは、1/100 を大きく上回る確率で、理論上のラインに一致します。

残差の破棄によるメモリ使用量の削減

モデルで使用されるメモリを調べます。

M1 = whos("coxMdl");
disp(M1.bytes)

モデルから残差を削除します。

coxMdl = discardResiduals(coxMdl);

モデルで使用されるメモリに対する削除による影響を調べます。

M2 = whos("coxMdl");
disp(M2.bytes)

disp(M1.bytes/M2.bytes)

    2.8124

残差を削除することで、メモリ使用量がほぼ 3 分の 1 に減少しています。

補助関数

この関数は、バスタブのハザード率を作成します。

function h = hazard(x)
h = exp(-2*(x - 1)) + (1 + tanh(x/10 - 3));
end

この関数は、バスタブのハザード率の 1 から x までの積分を作成します。

function eh = exphazard(x)
eh = 1/2 - exp(-2*(x-1))/2;
eh2 = (10*log(cosh(x/10 - 3)) - 10*log(cosh(1/10 - 3)) + x - 1);
eh = eh + eh2;
end

この関数は、乗算器 a を使用して累積ハザード率のレベル v までの平方根を求めます。

function zz = zeropt(a,v)
zz = fzero(@(x)(1 - exp(-a*exphazard(x)) - v),[1 100*max(1,1/a)]);
end

この関数は、乗算器 1/10 を使用して対数のハザード率の 1 から x までの積分を作成します。

function cr = cumrisk(x)
cr = 1/10*(x.*(log(x) - 1) + 1);
end