電気駆動装置の調整

この例では、カスケード制御構造を使用した電気駆動装置の調整方法を説明します。

カスケード制御構造

次の図は、カスケード制御構造を使用するフィードバック制御ループを示しています。外側の速度制御ループの動作は、内側の電流制御ループより遅くなっています。

極配置法を使用した PI 調整の方程式

単純な離散プラントモデル G_f(z^-1) に必要な制御性能を満たすには、閉ループ PI 制御システム G_PI(z^-1) を使用します。過渡特性はオーバーシュートで表すことができます。オーバーシュートは減衰係数に応じて減少します。

$σ = e^{\frac{- π ξ}{\sqrt{1 - ξ^{2}}}}$

ここで、

σ はオーバーシュート。
ξ は減衰係数。

応答時間 t_r は、減衰および固有振動数 ω_n に次のように依存します。

ξ < 0.7 の場合
$t_{r} ≅ \frac{4}{ω_{n} ξ} .$
ξ ≥ 0.7 の場合
$t_{r} ≅ \frac{6 ξ}{ω_{n}} .$

1 次システムのための PI コントローラー設計の一般的なワークフローは次のとおりです。

ゼロ次ホールド (ZOH) 離散化メソッドを使用してプラントモデルを離散化します。すなわち、プラントを表す 1 次方程式が以下であるとします。

$G (s) = \frac{K_{m}}{T_{m} s + 1},$
ここで、
- K_m は 1 次ゲイン。
- T_m は 1 次システムの時定数。
次のように設定します。

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
これにより、次の離散プラントモデルが生成されます。

$G (z^{- 1}) = \frac{K_{m} (\frac{T_{s}}{T_{m}}) z^{- 1}}{1 + (\frac{T_{s} - T_{m}}{T_{m}}) z^{- 1}} = \frac{b_{1} z^{- 1}}{1 + a_{1} z^{- 1}},$
ここで、T_s は離散時間コントローラーのサンプル時間です。
同じ変換を使用して PI コントローラーの離散時間表現を記述します。次の

$G_{P I} (s) = K_{P} + K_{I} (\frac{1}{s}),$
に対して以下のように設定します。

$s = \frac{1 - z^{- 1}}{z^{- 1} T_{s}},$
これにより、次の離散コントローラーモデルが生成されます。

$G_{P I} (z^{- 1}) = \frac{K_{P} + (K_{I} T_{s} - K_{P}) z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} = \frac{q_{0} + q_{1} z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} .$
プラントとコントローラーの離散方程式を組み合わせることで、次のシステムの閉ループ伝達関数が生成されます。

$G_{0} (z^{- 1}) = \frac{q_{0} b_{1} z^{- 1} + q_{1} b_{1} z^{- 2}}{1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2}},$
伝達関数の分母は特性多項式です。つまり、次のようになります。

$P_{c 0} (z^{- 1}) = 1 + (a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}) z^{- 1} + (- a_{1} + q_{1} b_{1}) z^{- 2} .$
必要な性能を達成するための特性多項式は、次のように定義されます。

$P_{c d} (z^{- 1}) = 1 + α_{1} z^{- 1} + α_{2} z^{- 2},$
ここで、
- $α_{1} = - 2 e^{- ξ ω_{n} T_{s}} \cos (ω_{n} T_{s} \sqrt{1 - ξ^{2}}) .$
- $α_{2} = e^{- 2 ξ ω_{n} T_{s}} .$
コントローラーのパラメーターを決定するには、システムの特性多項式を、必要な性能の特性多項式と等価に設定します。

$P_{c 0} (z^{- 1}) = P_{c d} (z^{- 1}),$
の場合、

$α_{1} = a_{1} - 1 + q_{0} b_{1}$
および

$α_{2} = - a_{1} + q_{1} b_{1} .$
となります。q₀ および q₁ を求めると、

$q_{0} = \frac{α_{1} - a_{1} + 1}{b_{1}}$
および

$q_{1} = \frac{α_{2} + a_{1}}{b_{1}} .$
となります。したがって、1 次システムの比例制御パラメーターと積分制御パラメーターの一般方程式は、

$K_{P} = q_{0}$
および

$K_{I} = \frac{q_{1} + K_{p}}{T_{s}} .$
となります。

DC モーターコントローラー調整の方程式

モデル例のシステムについて、K_b = K_t と仮定すると、DC モーターの電圧およびトルクの単純化された数式は次のようになります。

$v_{a} = L_{a} \frac{d i_{a}}{d t} + R_{a} i_{a} + K_{b} ω$

および

$T_{e} = J_{m} \frac{d ω}{d t} + B_{m} ω + T_{l o a d} = K_{b} i_{a},$

ここで、

v_a は電機子電圧。
i_a は電機子電流。
L_a は電機子インダクタンス。
R_a は電機子抵抗。
ω は回転子角速度。
T_e はモーターのトルク。
T_load は負荷トルク。
J_m ローターの慣性モーメント。
B_m は粘性摩擦係数。
K_b は比例定数。

電流コントローラーを調整するために、モデルが線形であること、つまり、K_bω で表される逆起電力が無視できる大きさであることを仮定します。この仮定によって、次の 1 次ラプラス方程式を使用したプラントモデルの近似が可能になります。

$G_{i} (s) = \frac{\frac{1}{R_{a}}}{(\frac{L_{a}}{R_{a}}) s + 1} .$

システム要件を与えると、K_P および K_I を解くことができます。モデル例の電流コントローラーの要件は次のとおりです。

サンプル時間、T_s= 1 ミリ秒。
オーバーシュート、σ = 5%。
応答時間、t_r = 0.11 秒。

したがって、電流コントローラーの比例パラメーターと積分パラメーターは次のようになります。

$K_{P} = 7.7099.$
$K_{I} = 455.1491.$

速度コントローラーを調整するには、単純なモデルによってプラントモデルを近似します。まず、内側のループが外側のループより大幅に高速であると仮定します。また、定常偏差がないと仮定します。これらの仮定から、内側の電流ループに対し伝達関数が 1 であると見なすことで、1 次システムの使用が可能になります。

回転速度を 1 分あたりの回転数で出力するには、伝達関数に係数 30/π を乗算します。モータートルクの代わりに電機子電流を制御入力として使用するには、伝達関数に比例定数 K_b を乗算します。その結果、外側のループのプラントモデルの近似は次のようになります。

$G_{n} (s) = \frac{\frac{30 K_{b}}{π B_{m}}}{(\frac{J_{m}}{B_{m}}) s + 1} .$

次のように、速度コントローラーのサンプル時間とオーバーシュートの要件は電流コントローラーと同じですが、応答時間は遅くなっています。

サンプル時間、T_s= 1 ミリ秒。
オーバーシュート、σ = 5%。
応答時間、 t_r = 0.50 秒。

したがって、速度コントローラーの比例パラメーターと積分パラメーターは次のようになります。

$K_{P} = 0.0045$
$K_{I} = 0.0405$

モデル例の電気駆動装置の調整

DC モーターとカスケードコントローラーのコンポーネントを調べます。
1. モデルを開きます。MATLAB^® コマンドプロンプトで、次のように入力します。
  openExample("simscapeelectrical/DCMotorControlExample")
2. [コントロール] サブシステムには、Simulink^® ライブラリのブロックを使用して作成されたカスケード制御システムのモデルが含まれています。
3. Four Quadrant Chopper ブロックは、2 つのブリッジアームを含む 4 象限 DC-DC チョッパーを表します。その各ブリッジアームに 2 つの IGBT (Ideal, Switching) ブロックがあります。入力電圧が 0.5 V のしきい値を超えると、IGBT (Ideal, Switching) ブロックは、順電圧 0.8 V、抵抗 1e-4 Ω の線形ダイオードのように動作します。しきい値電圧を超えていないときの IGBT (Ideal, Switching) ブロックは、オフ状態のコンダクタンスが 1e-5 1/Ω の線形抵抗器のように動作します。
モデルのシミュレーションを実行します。
```
sim("DCMotorControl")
```
結果を表示します。[Scope] ブロックを開きます。
1.5 秒の時点で、定常偏差になる負荷トルクが発生しています。
DC モーターコントローラーを調整します。関数 ee_getDCMotorFirstOrderPIParams は、この例の 1 次システムの比例ゲイン K_P と積分ゲイン K_I を計算します。
関数の構文は [Kp, Ki] = getParamPI(Km,Tm,Ts,sigma,tr) です。
関数の入力引数は、コントローラーの次のようなシステムパラメーターと要件です。
- Km は 1 次ゲイン。
- Tm は 1 次システムの時定数。
- T_s は離散時間コントローラーのサンプル時間。
- sigma は目的の最大オーバーシュート σ。
- t_r は目的の応答時間。
♣
1. 関数内の方程式を調べるには、次のように入力します。
  edit ee_getDCMotorFirstOrderPIParams
2. 関数を使用してコントローラーのパラメーターを計算するために、次のシステムパラメーターをワークスペースに保存します。
  Ra=4.67; % [Ohm] La=170e-3; % [H] Bm=47.3e-6; % [N*m/(rad/s)] Jm=42.6e-6; % [Kg*m^2] Kb=14.7e-3; % [V/(rad/s)] Tsc=1e-3; % [s]
3. 電流コントローラーを調整するためのパラメーターを、内側のコントローラーのパラメーターおよび要件の関数として計算します。
  - Km = 1/Ra
  - Tm = La/Ra
  - Ts = Tsc
  - sigma = 0.05
  - Tr = 0.11
  [Kp_i, Ki_i] = ee_getDCMotorFirstOrderPIParams(1/Ra,La/Ra,Tsc,0.05,0.11)
  Kp_i = 7.7099 Ki_i = 455.1491
  電流コントローラーのゲインパラメーターがワークスペースに保存されます。
4. 速度コントローラーを調整するためのパラメーターを、外側のコントローラーのパラメーターと要件に基づいて計算します。
  - Km = Kb*(30/pi)
  - Tm = Jm/Ra
  - Ts = Tsc
  - sigma = 0.05
  - Tr = 0.5
  [Kp_n, Ki_n] = ee_getDCMotorFirstOrderPIParams((Kb*(30/pi))/Bm,Jm/Bm,Tsc,0.05,0.5)
  Kp_n = 0.0045 Ki_n = 0.0405
速度コントローラーのゲインパラメーターがワークスペースに保存されます。
保存された、速度とコントローラーのゲインパラメーターを使用して、モデルをシミュレートします。
```
sim("DCMotorControl")
```
結果を表示します。[Scope] ブロックを開きます。

オーバーシュートはやや増加していますが、コントローラーは負荷トルクの変化にずっと速く応答しています。

参考

Rotational Electromechanical Converter | Inertia | Rotational Friction