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周波数依存伝送線路

この例では、周波数依存伝送線路のカスタム モデルを示します。最初に、特性アドミタンスと伝播関数が、周波数依存の抵抗、リアクタンス、サセプタンスから導出されます。派生値は、RF Toolbox™ を使用して近似されます。次に、近似されたパラメーターに基づいて、Simscape™ で普遍的線路モデル (ULM) [1] が実装されます。周波数依存伝送線路モデルの結果と、従来の π セクション伝送線路モデルの結果が比較されます。

モデル

パラメーターの指定

伝送線路の周波数依存パラメーターをインポートします。これらのパラメーターは、地上から 20 m の架空線に対して計算されます [2]。導体の接地抵抗と表皮効果は無視できるものと見なされます。次のパラメーターがシミュレーション用に事前に計算されます。

  • 単位長あたり周波数依存直列抵抗 $R$

  • 単位長あたり周波数依存直列リアクタンス $X$

  • 単位長あたり周波数依存分流サセプタンス $B$

  • 対応する周波数 $freq$

  • 伝送線路の長さ $len$

  Name         Size            Bytes  Class     Attributes

  B         1000x1              8000  double              
  R         1000x1              8000  double              
  X         1000x1              8000  double              
  freq      1000x1              8000  double              
  len          1x1                 8  double              

周波数依存の R、L、C は次の図で表されます。

特性アドミタンスと伝播関数

特性アドミタンスは $Y_c = \sqrt{Y/Z}$ として表されます。ここで、$Z$$Y$ は、単位長あたり周波数依存直列インピーダンスと分流アドミタンスです。

伝播速度は $V = \omega / Imag(\Gamma)$ として表されます。ここで、$\Gamma = \sqrt{YZ}$ は伝播定数、$\omega$ は対応する角速度です。

したがって、伝播関数 $H$$H = e^{-\Gamma len}$ として表されます。

特性アドミタンスの有理近似

特性アドミタンスを有理数形式に変換するには、RF Toolbox の有理近似関数 rationalfit を使用します。

$Y_c = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{YcResidues_i}{s-YcPoles_i}$

ここで、

  • $n$ は極の数 (近似の次数)。

  • $YcPoles_i$$Y_c$$i_{th}$ (i 番目) の極。

  • $YcResidues_i$$Y_c$$i_{th}$ (i 番目) の残差。

この場合は、8 次近似を実行します。

次の図は、有理近似の前と後の特性アドミタンスの比較を示しています。

伝播関数の有理近似

まず、有理近似の次数を小さくするために、伝播関数の時間遅延を取り除きます。ここで、$\tau$ は伝播の時間遅延、$H_k$ は時間遅延のない伝播関数です。時間遅延は、モデル内で遅延単位によって表されます。

時間遅延のない伝播関数を有理数形式に変換するには、RF Toolbox の関数 rationalfit を使用します。

$H_k = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{HkResidues_i}{s-HkPoles_i}$

ここで、

  • $n$ は極の数 (近似の次数)。

  • $HkPoles_i$$H_k$$i_{th}$ (i 番目) の極。

  • $HkResidues_i$$H_k$$i_{th}$ (i 番目) の残差。

この場合は、8 次近似を実行します。

次の図は、有理近似の前と後の伝播関数 H (時間遅延あり) が一致していることを示します。

Simscape で実装される汎用線路モデル

この例では、単一の導体と接地帰路のみを検討します。ラプラス領域における線の等価回路は、汎用線路モデル (ULM) [1] から推定することができます。主な変数は次のとおりです。

  • $V_j$ は、端子 $j$ の電圧。

  • $I_j$ は、端子 $j$ の電流。

  • $I_{sh,j}$ は、端子 $j$ の分流電流。

  • $I_{rfl,j}$ は端子 $j$ からの反射電流。

  • $I_{aux,j}$ は、端子 $j$ からの補助電流。

  • $H$ は、伝播関数。

この等価回路から、方程式系を次のように記述することができます。

  • $I_1 = I_{sh,1} - I_{aux,2}$

  • $I_2 = I_{sh,2} - I_{aux,1}$

ここで、

  • $I_{aux,1} = 2HI_{rfl,1}$

  • $I_{aux,2} = 2HI_{rfl,2}$

  • $I_{rfl,1} = (I_1 + I_{sh,1})/2$

  • $I_{rfl,2} = (I_2 + I_{sh,2})/2$

  • $I_{sh,1} = Y_c V_1$

  • $I_{sh,2} = Y_c V_2$

特性アドミタンスの有理数形式を考慮すると、端子 1 の分流電流は次のようになります。

  • $I_{sh,1} = Y_c V_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} W_i$

  • $W_i = \frac{YcResidues_i V_i}{s-YcPoles_i}$

これらの方程式をラプラス領域から時間領域に変換するために、逆ラプラス変換を実行します。この変換の結果は次のようになります。

  • $i_{sh,1} = Y_c v_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i$

  • $\frac{d w_i}{d t} = YcPoles_i w_i + YcResidues_i v_1$

ここで、$w_i$$v_1$$i_{sh,1}$ は、$W_i$$V_1$$I_{sh,1}$ の時間領域表現です。

同様に、伝播関数の有理数形式を考慮すると、端子 1 の補助電流は次のようになります。

  • $I_{aux,1} = 2HI_{rfl,1} = 2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i$

  • $X_i = \frac{HkResidues_i}{s-HkPoles_i} e^{-s \tau} I_{rfl,1}$

これらの方程式をラプラス領域から時間領域に変換するために、逆ラプラス変換を実行します。この変換の結果は次のようになります。

  • $i_{aux,1} = 2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$

  • $\frac{d x_i}{d t} = HkPoles_i x_i + HkResidues_i i_{rfl,1}(t-\tau)$

端子 2 の電流も、同じ手順を使用して推定できます。次に、Simscape 言語を使用して Simscape に時間領域方程式を実装します。

Simscape ログからのシミュレーション結果

最初のシミュレーション ケースでは、電圧源は 60 Hz の正弦波を生成しています。π セクション伝送線路は、60 Hz の入力を仮定してパラメーター化された RLC を使用しますが、これは電圧源の周波数と一致します。以下のプロットは、伝送線路の入出力端子電圧を示しています。2 つのモデルは定常状態で十分な一致を示しています。

2 番目のシミュレーション ケースでは、電圧源は 10 kHz の変調がある 60 Hz の正弦波を生成しています。π セクション伝送線路は引き続き、60 Hz の入力を仮定してパラメーター化された RLC を使用します。周波数依存伝送線路のカスタム モデルはより広い帯域幅の信号に適しているのに対して、π セクション モデルは極端に狭い帯域幅の信号にしか適していないことは明らかです。

参考文献

[1] Morched, Atef, Bjorn Gustavsen, and Manoocher Tartibi. "A universal model for accurate calculation of electromagnetic transients on overhead lines and underground cables." IEEE Transactions on Power Delivery 14.3 (1999): 1032-1038.

[2] Dommel, Herman W. "Overhead line parameters from handbook formulas and computer programs." IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 2 (1985): 366-372.