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differentiate

cfit または sfit オブジェクトの微分

構文

fx = differentiate(FO, X)
[fx, fxx] = differentiate(...)
[fx, fy] = differentiate(FO, X, Y)
[fx, fy] = differentiate(FO, [x, y])
[fx, fy, fxx, fxy, fyy] = differentiate(FO, ...)

説明

曲線の場合

fx = differentiate(FO, X) は、cfit オブジェクト FO をベクトル X で指定した点で微分し、その結果を fx に返します。

[fx, fxx] = differentiate(...) は 2 次導関数も fxx に返します。

すべての戻り引数は X と同じサイズおよび形状です。

曲面の場合

[fx, fy] = differentiate(FO, X, Y) は、曲面 FOXY で指定した点で微分し、その結果を fxfy に返します。

FO は関数 fit で生成された曲面近似 (sfit) オブジェクトです。

XY は互いに同じサイズと形状の倍精度配列でなければなりません。

すべての戻り引数は X および Y と同じサイズおよび形状です。

FO が曲面 z=f(x,y) を表す場合、FX には x に関する導関数 (つまり dfdx) が、FY には y に関する導関数 (つまり dfdy) が含まれます。

[fx, fy] = differentiate(FO, [x, y]) (XY は列ベクトル) では評価点を 1 つの引数として指定できます。

[fx, fy, fxx, fxy, fyy] = differentiate(FO, ...) は曲面近似オブジェクト FO の 1 次および 2 次導関数を計算します。

fxx には x に関する 2 次導関数 (つまり、2fx2) が含まれます。

fxy には混合 2 次導関数 (つまり、2fxy) が含まれます。

fyy には y に関する 2 次導関数 (つまり、2fy2) が含まれます。

曲線の場合

ベースラインの正弦波信号を作成します。

xdata = (0:.1:2*pi)';
y0 = sin(xdata);

応答依存ガウス ノイズを信号に付加します。

noise = 2*y0.*randn(size(y0)); 											
ydata = y0 + noise;

ノイズのあるデータをカスタムの正弦波モデルで近似します。

f = fittype('a*sin(b*x)');
fit1 = fit(xdata,ydata,f,'StartPoint',[1 1]);

予測子値について近似の微分を求めます。

[d1,d2] = differentiate(fit1,xdata);

データ、近似、微分をプロットします。

subplot(3,1,1)
plot(fit1,xdata,ydata) % cfit plot method
subplot(3,1,2)
plot(xdata,d1,'m') % double plot method
grid on
legend('1st derivative')
subplot(3,1,3)
plot(xdata,d2,'c') % double plot method
grid on
legend('2nd derivative')

また、次のように cfitplot メソッドを使用して微分を直接計算しプロットすることもできます。

plot(fit1,xdata,ydata,{'fit','deriv1','deriv2'})

ただし、plot メソッドは differentiate メソッドとは異なり、微分データを返しません。

曲面の場合

differentiate メソッドを使用して近似の勾配を計算し、関数 quiver を使用してこれらの勾配を矢印としてプロットできます。以下の例では、等高線図の上端で勾配をプロットします。

x = [0.64;0.95;0.21;0.71;0.24;0.12;0.61;0.45;0.46;...
0.66;0.77;0.35;0.66];
y = [0.42;0.84;0.83;0.26;0.61;0.58;0.54;0.87;0.26;...
0.32;0.12;0.94;0.65];
z = [0.49;0.051;0.27;0.59;0.35;0.41;0.3;0.084;0.6;...
0.58;0.37;0.19;0.19];
fo = fit( [x, y], z, 'poly32', 'normalize', 'on' );
[xx, yy] = meshgrid( 0:0.04:1, 0:0.05:1 );

[fx, fy] = differentiate( fo, xx, yy );

plot( fo, 'Style', 'Contour' );
hold on
h = quiver( xx, yy, fx, fy, 'r', 'LineWidth', 2 );
hold off
colormap( copper )

最適化に導関数を使用する場合は、たとえば以下のように fmincon の目的関数を実装できます。

function [z, g, H] = objectiveWithHessian( xy )
        % The input xy represents a single evaluation point
        z = f( xy );
        if nargout > 1
            [fx, fy, fxx, fxy, fyy] = differentiate( f, xy );
            g = [fx, fy];
            H = [fxx, fxy; fxy, fyy];
        end
    end

ヒント

閉じた形式のライブラリ モデルについて、ツールボックスは導関数を解析により計算します。他のすべてのモデルについて、次の中心差分商を使用してツールボックスは 1 次導関数を計算します。

dfdx=f(x+Δx)f(xΔx)2Δx

ここで、x はツールボックスが導関数を計算する値、Δx は小さい数値 (eps の 3 乗根のオーダー)、f(x+Δx)x+Δx で評価された funf(xxΔ)xΔx で評価された fun です。

ツールボックスは次の式を使用して 2 次導関数を計算します。

d2fdx2=f(x+Δx)+f(xΔx)2f(x)(Δx)2

ツールボックスは次の式を使用して曲面の混合導関数を計算します。

2fxy(x,y)=f(x+Δx,y+Δy)f(xΔx,y+Δy)f(x+Δx,yΔy)+f(xΔx,yΔy)4ΔxΔy

参考

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R2006a より前に導入