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nyquist

周波数応答のナイキスト線図

構文

nyquist(sys)
nyquist(sys,w)
nyquist(sys1,sys2,...,sysN)
nyquist(sys1,sys2,...,sysN,w)
nyquist(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN')
[re,im,w] = nyquist(sys)
[re,im] = nyquist(sys,w)
[re,im,w,sdre,sdim] = nyquist(sys)


説明

nyquist は、動的システム モデルの周波数応答のナイキスト線図を作成します。左辺引数なしで実行した場合、nyquist は画面にナイキスト線図を作成します。ナイキスト線図は、ゲイン余裕、位相余裕、安定性などのシステム プロパティの解析に使用されます。

nyquist(sys) は動的システム sys のナイキスト線図を作成します。このモデルは、連続または離散、SISO または MIMO のいずれでも可能です。MIMO の場合、nyquist はナイキスト線図の配列を作成します。各プロットは 1 つの特定の I/O チャネルの応答を示します。周波数点はシステムの極および零点に基づいて自動的に選択されます。

nyquist(sys,w) は、プロットに使われる周波数範囲または周波数点を明示的に指定します。ある特定の周波数間隔に焦点を当てるには、w = {wmin,wmax} と設定してください。ある特定の周波数点を使用するためには、w を適切な周波数のベクトルに設定してください。対数間隔の周波数ベクトルを作成するためには、logspace を使用してください。周波数は rad/TimeUnit 単位でなければなりません。このとき、TimeUnit は sys の TimeUnit プロパティで指定される、入力動的システムの時間単位です。

nyquist(sys1,sys2,...,sysN) または nyquist(sys1,sys2,...,sysN,w) は複数の LTI モデルのナイキスト線図を 1 つの図に重ねます。すべてのシステムで同数の入力と出力を使用しなければなりませんが、連続時間システムと離散時間システムは組み合わせても構いません。構文 nyquist(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN') を使用して、システム プロットごとに独特の色、ラインスタイル、マーカーを指定することもできます。

[re,im,w] = nyquist(sys) と [re,im] = nyquist(sys,w) は、w の周波数 (rad/TimeUnit 単位) における周波数応答の実数部と虚数部を返します。re と im は 3 次元配列です (詳細は以下の「引数」を参照)。

[re,im,w,sdre,sdim] = nyquist(sys) は、特定されたシステム sys の re および im の標準偏差も返します。

引数

出力引数 re と im は、次の次元をもつ 3 次元配列です。

$$(\text{number of outputs) }\times \text{ (number of inputs) }\times \text{ (length of w)}$$

SISO システムの場合、スカラー値の re(1,1,k) と im(1,1,k) は周波数 ω_k = w(k) の応答の実数部と虚数部になります。

$$\begin{array}{l}\text{re}(1,1,k)=\mathrm{Re}\left(h(j{\omega }_k)\right)\\ \text{im}(1,1,k)=\mathrm{Im}\left(h(j{w}_k)\right)\end{array}$$

伝達関数H(s) をもつ MIMO システムでは、re(:,:,k) と im(:,:,k) が H(jω_k) の実数部と虚数部になります (いずれの配列も出力と同じ数の行、入力と同じ数の列をもちます)。したがって、次のようになります。

$$\begin{array}{l}\text{re}\text{(i,}\text{j,}\text{k)}=\mathrm{Re}\left(h_{ij}(j{\omega }_k)\right)\\ \text{im}\text{(i,}\text{j,}\text{k)}=\mathrm{Im}\left(h_{ij}(j{\omega }_k)\right)\end{array}$$

ここで h_ij は入力 j から出力 i までの伝達関数になります。

例

動的システムのナイキスト線図

次の伝達関数を作成し、そのナイキスト応答をプロットします。

$\mathit{H}\left(\mathit{s}\right)=\frac{2{\mathit{s}}^2+5\mathit{s}+1}{{\mathit{s}}^2+2\mathit{s}+3}$

H = tf([2 5 1],[1 2 3]);
nyquist(H)

関数 nyquist は、M-circle のグリッドを表示できます。これは定数閉ループ ゲインの等高線です。M-circle は複素数の軌跡として定義されます。ここで次の量は周波数全体で定数値です。

$\mathit{T}\left(\mathit{j}\omega \right)=\left|\frac{\mathit{G}\left(\mathit{j}\omega \right)}{1+\mathit{G}\left(\mathit{j}\omega \right)}\right|$

ここで、ω はラジアン/TimeUnit の周波数で、TimeUnit はシステム時間単位であり、G は定数ゲイン要件を満たす複素数の集合になります。

M-circle のグリッドを表示するには、プロットを右クリックして [グリッド] を選択します。あるいは、grid コマンドを使用します。

grid on

応答の不確かさをもつ同定されたモデルのナイキスト線図の作成

同定されたモデルの周波数応答の実数部と虚数部の標準偏差を計算します。このデータを使用して、応答の不確かさの 3σ プロットを作成します。

推定データ z2 を読み込みます。

load iddata2 z2;

データを使用して伝達関数モデルを特定します。

sys_p = tfest(z2,2);

512 個の周波数のセット w について、周波数応答の実数部と虚数部の標準偏差を取得します。

w = linspace(-10*pi,10*pi,512);
[re,im,wout,sdre,sdim] = nyquist(sys_p,w);

ここで re と im は周波数応答の実数部と虚数部、sdre と sdim はそれぞれの標準偏差です。wout の周波数は、w で指定した周波数と同じです。

応答とその 3σ の不確かさを示すナイキスト線図を作成します。

re = squeeze(re);
im = squeeze(im); 
sdre = squeeze(sdre);
sdim = squeeze(sdim);
plot(re,im,'b',re+3*sdre,im+3*sdim,'k:',re-3*sdre,im-3*sdim,'k:')
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');

ヒント

• 単位などのプロットのプロパティを変更することができます。プロットのプロパティの変更方法の詳細は、プロットをカスタマイズする方法を参照してください。プロットのプロパティを最も柔軟にカスタマイズするには、nyquist の代わりに nyquistplot コマンドを使用します。

• 右クリック メニューには、ナイキスト線図に特に適用される 2 つのズーム オプションがあります。

  • フル ビュー —ナイキスト線図の制約されていない分岐を切り取りますが、臨界点 (–1, 0) が含まれます。

  • ズーム オン (-1,0) — 臨界点付近 (–1,0) をズームします (臨界点ズームにプログラム的にアクセスするには、代わりに nyquistplot を使用してください)。

• ある周波数における実数値と虚数値を示すデータ マーカーをアクティブにするには、曲線上の任意の場所をクリックします。以下の図は、データ マーカーが表示された nyquist プロットを示しています。

  

アルゴリズム

bode を参照してください。

参考

bode | evalfr | freqresp | nichols | sigma | 線形システム アナライザー

R2006a より前に導入

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