逆連続ウェーブレット変換
関数 icwt
は逆 CWT を実装します。icwt
を使用するには、CWT を cwt
から求める必要があります。
CWT は冗長な変換であるため、逆数を定義する固有の方法はありません。Wavelet Toolbox™ に実装された逆 CWT は、解析ウェーブレットと L1 正規化を使用します。
逆 CWT は従来、2 重積分の形式で表現されます。次のアドミッシブル条件を満たすフーリエ変換を使用したウェーブレット ψ があると仮定します。
アドミッシブル条件を満たすウェーブレットと有限エネルギー関数 f(t) の場合、逆 CWT を次のように定義できます。
ここで、です。
次の条件を満たすウェーブレットと関数を解析する場合、逆 CWT に対する単一の積分公式が存在します。
解析された関数 f(t) のエネルギーは有限であり、解析ウェーブレットのフーリエ変換は非負の周波数セットのみをサポートします。これは、"解析的" ウェーブレットと呼ばれます。非負の周波数セット上でのみサポートをもつフーリエ変換の関数は複素数値でなければなりません。
cwt
でサポートされるウェーブレットは解析的です。
単一の積分公式を推進するために、ψ1 と ψ2 を次の 2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件を満たす 2 つの "ウェーブレット" と仮定します。
定数を定義します。
上記の定数は複素数値である可能性もあります。f(t) と g(t) を 2 つの有限エネルギー関数と仮定します。2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件が満たされると、次の方程式が成立します。
ここで < , > は内積、* は複素共役を示し、スケールと位置の ψ1 と ψ2 の依存関係は便宜上、省略されています。
逆 CWT に対する単一の積分公式で重要な点は、いずれかの "ウェーブレット" が許容不可でも、2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件が満たされるのを認識することです。つまり、ψ1 と ψ2 の両方が個々に許容可能である必要はありません。また、いずれかの "関数" と "ウェーブレット" を分布にすることで、要件をさらに緩和できます。最初に g(t) をディラックのデルタ関数 (分布) と仮定し、ψ2 もディラックのデルタ関数として使用可能にすることで、逆 CWT に対する単一の積分公式を導出できます。
f(t) が実数値の場合は次のようになります。
ここで、Re{ } は実数部を示します。
f(t) が複素数値の場合は次のようになります。
前の方程式は、すべてのスケールに対してスケーリングされた CWT 係数を加算すると、信号を再構成できることを示しています。
選択したスケールからスケーリングされた CWT 係数を加算することにより、元の信号への Approximation 値を求めます。これは、関心対象の現象がスケールで局在化される状況で役立ちます。
関数 icwt
は、上記の積分の離散化バージョンを実装します。cwtfilterbank
オブジェクトから抽出された解析フィルターを使用して、CWT を反転することもできます。この場合、icwt
は逆変換の際、近似合成フィルター (デュアル フレーム) を使用します。