連続ウェーブレット変換およびスケールベースの解析

連続ウェーブレット変換の定義

"連続ウェーブレット変換" (CWT) はフーリエ変換と同様に、信号および解析関数の間の相似性を測定するために内積を使用します。フーリエ変換では、解析関数は複素指数 $$e^{j\omega t}$$ です。結果の変換は、単一変数 ω の関数です。短時間フーリエ変換 (STFT) では、解析関数はウィンドウ処理された複素指数 $$w(t)e^{j\omega t}$$ であり、結果は 2 つの変数の関数です。STFT 係数 $$F(\omega ,\tau ),$$ は、τ を中心とする指定された長さの区間における、信号および角周波数 ω を持つ正弦波の間の一致を表します。

CWT では、解析関数はウェーブレット ψ です。CWT は、信号を 1 つのウェーブレットのシフトされ圧縮されたバージョン、またはシフトされ引き伸ばされたバージョンと比較します。関数の伸長または圧縮は、まとめて "膨張" または "スケーリング" と呼ばれ、"スケール" の物理的概念に相当します。さまざまなスケールと位置で信号をウェーブレットと比較し、2 つの変数の関数を求めます。1 次元信号の 2 次元表現は冗長です。ウェーブレットが複素数値の場合、CWT はスケールと位置の複素数値関数です。信号が実数値の場合、CWT はスケールと位置の実数値関数です。スケール パラメーターが a>0 で位置が b の場合、CWT は次のようになります。

$$C(a,b;f(t),\psi (t))={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t)\frac{1}{a}{\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

ここで $$*$$ は複素共役を意味します。スケールと位置の値は CWT 係数に影響を与えるだけでなく、ウェーブレットの選択も係数の値に影響を与えます。

スケール パラメーター a と位置パラメーター b の値を連続的に変化させることで、"CWT 係数" C(a,b) を求めます。便宜上、関数上および解析ウェーブレット上において CWT 係数の依存関係が省略されていることに注意してください。

適切にスケーリングされてシフトされたウェーブレットで各係数を乗算すると、元の信号の構成ウェーブレットが生成されます。

CWT で使用できるさまざまな許容ウェーブレットがあります。解析ウェーブレットには多数の選択肢があるため紛らわしく思われるかもしれませんが、実はこれがウェーブレット解析の強みです。検出しようとしている信号の特徴に応じて、その特徴の検出を容易にするウェーブレットを自由に選択できます。たとえば、信号で突然不連続になる部分を検出する場合は、1 つのウェーブレットを選択できます。一方、滑らかなオンセットとオフセットをもつ振動の検出が関心の対象である場合は、より厳密にその動作と一致するウェーブレットを自由に選択できます。

スケール

周波数の概念と同様に、"スケール" は信号とイメージのもう 1 つの便利な性質です。たとえば、さまざまなスケールの変化で温度データを解析できます。年単位または 10 年単位の変化を確認できます。もちろん、より細かい (日単位) スケールまたは粗いスケールの変化を調べることもできます。一部のプロセスでは、長時間のスケールや長時間の空間スケールにおいて、小さい時間スケールや小さい空間スケールでは明らかにならない興味深い変化が明らかになります。この逆の状況も起こります。私たちの知覚力の一部に "スケール不変性" があります。知っている人物であれば、大きなポートレートか小さな写真かに関係なく認識します。

"スケール係数" は "伸長" や "縮小" といった口語的な説明よりも柔軟です。これは通常、文字 a で示されます。スケール係数は本質的に正の量 a>0 です。正弦波の場合、スケール係数の影響は非常に簡単に確認できます。

sin(at) の場合、スケールはラジアン周波数 a の逆数です。

スケール係数はウェーブレットの場合とまったく同じように機能します。スケール係数が小さいほど、ウェーブレットは "圧縮" されます。反対に、スケール係数が大きいほど、ウェーブレットは引き伸ばされます。次の図は、スケール 1、2、4 のウェーブレットでこれを示しています。

このスケールと周波数の一般的な逆関数の関係は、概して信号にも適用されます。

時間-スケールの表現は、データを表示する別の方法であるだけでなく、多数の自然現象から導出されたデータを表示する非常に自然な方法でもあります。

スケールと周波数

スケールと周波数の間には明らかに関係があります。大きいスケールは最も "引き伸ばされた" ウェーブレットに相当することを思い出してください。ウェーブレットが引き伸ばされるほど比較対象となる信号の部分が大きくなるため、ウェーブレット係数で測定される信号の特徴がより粗くなります。

要約すると、スケールと周波数の一般的な対応関係は次のようになります。

• 小さいスケール a ⇒ 圧縮されたウェーブレット ⇒ 高速に変化する Detail ⇒ 高周波数 ω。

• 大きいスケール a ⇒ 引き伸ばされたウェーブレット ⇒ 低速に変化する粗い特徴 ⇒ 低周波数 ω。

スケールと周波数との間に一般的な関係がある一方、正確な関係は存在しません。フーリエ解析に精通しているユーザーは、多くの場合、指定されたサンプリング周期をもつ特定のスケールのウェーブレットから Hz 単位の周波数までのマッピングを定義します。これは、一般的な意味でのみ行えます。したがって、スケールに対応する疑似周波数について説明する方が効果的です。Wavelet Toolbox™ ソフトウエアには centfrq と scal2frq の 2 つの関数が用意されています。これらを使用して、指定されたウェーブレットとスケールのおおよそのスケール-周波数関係を見つけることができます。

基本的なアプローチでは、ウェーブレットのフーリエ変換におけるピーク強度をその中心周波数として識別し、その値をスケールとサンプリング間隔の積で除算します。詳細については、scal2frq を参照してください。次の Figure は、db8 ウェーブレットの推定中心周波数が同周波数の正弦波と一致していることを示しています。

CWT におけるスケールと周波数の間の関係については、バンドパス フィルターとしての連続ウェーブレット変換 でも説明しています。

シフト

ウェーブレットのシフトとは、そのオンセットが遅れる (または進む) ことを単に意味します。数学的には、関数 f(t) の k の遅延は、f(t – k) で表されます。

ウィンドウが適用された変換としての CWT

短時間フーリエ変換 では、STFT は局所的な周波数解析を作成する信号のウィンドウ処理として説明されています。STFT アプローチの欠点は、ウィンドウ サイズが定数であることです。ウィンドウ サイズの選択にはトレード オフがあります。時間枠が長くなると周波数分解能は向上しますが、その結果、フーリエ変換はその時間枠に対するすべての時間分解能を失うため、時間分解能が劣化します。逆に、時間枠が短くなると時間の局在化は向上しますが、周波数分解能は劣化します。

ウェーブレット解析は、可変サイズの領域をもつウィンドウ処理手法の次の論理ステップを表します。ウェーブレット解析では、より正確な低周波数情報が必要な長い時間区間と、高周波数情報が必要な短い領域を使用できます。

次の図は、STFT とウェーブレット解析が時間-周波数平面を分解する異なる方法を対比しています。