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whittakerW

ウィッテイカー W 関数

構文

whittakerW(a,b,z)

説明

whittakerW(a,b,z) は、ウィッテイカー W 関数の値を返します。

入力引数

a

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。a がベクトルまたは行列の場合、whittakerWa の要素ごとにベータ関数を返します。

b

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。b がベクトルまたは行列の場合、whittakerWb の要素ごとにベータ関数を返します。

z

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。x がベクトルまたは行列の場合、whittakerWz の要素ごとにベータ関数を返します。

次の 2 階微分方程式を解きます。解はウィッテイカー関数を用いて与えられます。

syms a b w(z)
dsolve(diff(w, 2) + (-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*w == 0)
ans =
C2*whittakerM(-a, -b, -z) + C3*whittakerW(-a, -b, -z)

ウィッテイカー W 関数が、次の微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerW(a, b, z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerW(a, b, z) == 0)
ans =
     1

whittakerW(-a, -b, -z) が次の微分方程式についても有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerW(-a, -b, -z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerW(-a, -b, -z) == 0)
ans =
     1

次の数値についてウィッテイカー W 関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[whittakerW(1, 1, 1), whittakerW(-2, 1, 3/2 + 2*i),...
whittakerW(2, 2, 2), whittakerW(3, -0.3, 1/101)]
ans =
   1.1953            -0.0156 - 0.0225i   4.8616            -0.1692

シンボリック オブジェクトに変換された数値のウィッテイカー W 関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、whittakerW は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[whittakerW(sym(1), 1, 1), whittakerW(-2, sym(1), 3/2 + 2*i),...
whittakerW(2, 2, sym(2)), whittakerW(sym(3), -0.3, 1/101)]
ans =
[ whittakerW(1, 1, 1), whittakerW(-2, 1, 3/2 + 2i),
whittakerW(2, 2, 2), whittakerW(3, -3/10, 1/101)]

シンボリックな変数と式の場合も、whittakerW により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms a b x y
[whittakerW(a, b, x), whittakerW(1, x, x^2),...
whittakerW(2, x, y), whittakerW(3, x + y, x*y)]
ans =
[ whittakerW(a, b, x), whittakerW(1, x, x^2),
whittakerW(2, x, y), whittakerW(3, x + y, x*y)]

ウィッテイカー W 関数には一部のパラメーター用の特別な値があります。

whittakerW(sym(-3/2), 1/2, 0)
ans =
4/(3*pi^(1/2))
syms a b x
whittakerW(0, b, x)
ans =
(x^(b + 1/2)*besselk(b, x/2))/(x^b*pi^(1/2))
whittakerW(a, -a + 1/2, x)
ans =
x^(1 - a)*x^(2*a - 1)*exp(-x/2)
whittakerW(a - 1/2, a, x)
ans =
(x^(a + 1/2)*exp(-x/2)*exp(x)*igamma(2*a, x))/x^(2*a)

ウィッテイカー W 関数を含む式を微分します。

syms a b z
diff(whittakerW(a,b,z), z)
ans =
- (a/z - 1/2)*whittakerW(a, b, z) -...
whittakerW(a + 1, b, z)/z

行列 A の要素のウィッテイカー W 関数を計算します。

syms x
A = [-1, x^2; 0, x];
whittakerW(-1/2, 0, A)
ans =
[ -exp(-1/2)*(ei(1) + pi*1i)*1i,...
   exp(x^2)*exp(-x^2/2)*expint(x^2)*(x^2)^(1/2)]
[  0,...
             x^(1/2)*exp(-x/2)*exp(x)*expint(x)]

詳細

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ウィッテイカー W 関数

ウィッテイカー関数 Ma,b(z) および Wa,b(z) は、次の微分方程式の線形独立解です。

d2wdz2+(14+az+1/4b2z2)w=0

ウィッテイカー W 関数は、合流型超幾何関数によって定義されます。

Wa,b(z)=ez/2zb+1/2U(ba+12,1+2b,z)

ヒント

  • 非スカラー引数はすべて同じサイズでなければなりません。1 つまたは 2 つの入力引数が非スカラーの場合、whittakerW はスカラーを、非スカラー引数と同じサイズの、すべての要素が対応するスカラーと等しいベクトルまたは行列に拡張します。

参考文献

Slater, L. J. "Cofluent Hypergeometric Functions." Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.).New York: Dover, 1972.

R2012a で導入

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