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whittakerM

ウィッテイカー M 関数

構文

whittakerM(a,b,z)

説明

whittakerM(a,b,z) は、ウィッテイカー M 関数の値を返します。

入力引数

a

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。a がベクトルまたは行列の場合、whittakerMa の要素ごとにベータ関数を返します。

b

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。b がベクトルまたは行列の場合、whittakerMb の要素ごとにベータ関数を返します。

z

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。x がベクトルまたは行列の場合、whittakerMz の要素ごとにベータ関数を返します。

次の 2 階微分方程式を解きます。解はウィッテイカー関数を用いて与えられます。

syms a b w(z)
dsolve(diff(w, 2) + (-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*w == 0)
ans =
C2*whittakerM(-a,-b,-z) + C3*whittakerW(-a,-b,-z)

ウィッテイカー M 関数が、次の微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms a b z
simplify(diff(whittakerM(a,b,z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerM(a,b,z)) == 0
ans =
     1

whittakerM(-a,-b,-z) が次の微分方程式についても有効な解であることを検証します。

syms a b z
simplify(diff(whittakerM(-a,-b,-z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerM(-a,-b,-z)) == 0
ans =
     1

次の数値についてウィッテイカー M 関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[whittakerM(1, 1, 1), whittakerM(-2, 1, 3/2 + 2*i),...
whittakerM(2, 2, 2), whittakerM(3, -0.3, 1/101)]
ans =
   0.7303            -9.2744 + 5.4705i   2.6328             0.3681

シンボリック オブジェクトに変換された数値のウィッテイカー M 関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、whittakerM は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[whittakerM(sym(1), 1, 1), whittakerM(-2, sym(1), 3/2 + 2*i),...
whittakerM(2, 2, sym(2)), whittakerM(sym(3), -0.3, 1/101)]
ans =
[ whittakerM(1, 1, 1), whittakerM(-2, 1, 3/2 + 2*i),
whittakerM(2, 2, 2), whittakerM(3, -3/10, 1/101)]

シンボリックな変数と式の場合も、whittakerM により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms a b x y
[whittakerM(a, b, x), whittakerM(1, x, x^2),...
whittakerM(2, x, y), whittakerM(3, x + y, x*y)]
ans =
[ whittakerM(a, b, x), whittakerM(1, x, x^2),...
whittakerM(2, x, y), whittakerM(3, x + y, x*y)]

ウィッテイカー M 関数には一部のパラメーター用の特別な値があります。

whittakerM(sym(-3/2), 1, 1)
ans =
exp(1/2)
syms a b x
whittakerM(0, b, x)
ans =
4^b*x^(1/2)*gamma(b + 1)*besseli(b, x/2)
whittakerM(a + 1/2, a, x)
ans =
x^(a + 1/2)*exp(-x/2)
whittakerM(a, a - 5/2, x)
ans =
(2*x^(a - 2)*exp(-x/2)*(2*a^2 - 7*a + x^2/2 -...
x*(2*a - 3) + 6))/pochhammer(2*a - 4, 2)

ウィッテイカー M 関数を含む式を微分します。

syms a b z
diff(whittakerM(a,b,z), z)
ans =
(whittakerM(a + 1, b, z)*(a + b + 1/2))/z -...
(a/z - 1/2)*whittakerM(a, b, z)

行列 A の要素のウィッテイカー M 関数を計算します。

syms x
A = [-1, x^2; 0, x];
whittakerM(-1/2, 0, A)
ans =
[ exp(-1/2)*i, exp(x^2/2)*(x^2)^(1/2)]
[           0,       x^(1/2)*exp(x/2)]

詳細

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ウィッテイカー M 関数

ウィッテイカー関数 Ma,b(z) および Wa,b(z) は、次の微分方程式の線形独立解です。

d2wdz2+(14+az+1/4b2z2)w=0

ウィッテイカー M 関数は、合流型超幾何関数によって定義されます。

Ma,b(z)=ez/2zb+1/2M(ba+12,1+2b,z)

ヒント

  • 非スカラー引数はすべて同じサイズでなければなりません。1 つまたは 2 つの入力引数が非スカラーの場合、whittakerM はスカラーを、非スカラー引数と同じサイズの、すべての要素が対応するスカラーと等しいベクトルまたは行列に拡張します。

参考文献

Slater, L. J. “Cofluent Hypergeometric Functions.”Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.(M.Abramowitz and I. A. Stegun, eds.).New York: Dover, 1972.

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