電気双極子モーメントと放射電力

この例では、楕円軌道で運動する 2 個の引き合う電荷 ("電気双極子") の平均放射電力を求めます。

共通重心

2 個の対立電荷 e1 と e2 は電気双極子を形成します。荷電粒子の質量はそれぞれ、m1 と m2 です。共通重心は m1*r1 + m2*r2 = 0 になります。ここで、r1 および r2 は荷電粒子までの距離ベクトルです。荷電粒子間の距離は r = r1 - r2 です。

syms m1 m2 e1 e2 r1 r2 r
[r1,r2] = solve(m1*r1 + m2*r2 == 0, r == r1 - r2, r1, r2)

r1 = 
 $\frac{m_{2} r}{m_{1} + m_{2}}$

r2 = 
 $- \frac{m_{1} r}{m_{1} + m_{2}}$

双極子モーメント

この系の双極子モーメントを求めます。

d = e1*r1 + e2*r2;
simplify(d)

ans = 
 $\frac{r (e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}{m_{1} + m_{2}}$

単位時間あたりの放射電力

ラーモアの公式によって、単位時間内の全放射電力は $J = \frac{2}{3 c^{3}} {d_{}^{¨}}^{2}$ 、または、荷電粒子間の距離で表すと、 $J = \frac{2}{3 c^{3}} \frac{m 1 m 2}{m 1 + m 2} {(\frac{e 1}{m 1} - \frac{e 2}{m 2})}^{2} {r_{}^{¨}}^{2}$ となります。ここで、ドットは時間微分を意味します。クーロンの法則 $m r_{}^{¨} = - \frac{α}{r^{2}}$ から、系の減少質量 $m = \frac{m 1 m 2}{m 1 + m 2}$ と粒子の電荷の積 $α = | e 1 e 2 |$ によって、加速度 $r_{}^{¨}$ の値を求めることができます。

alpha = sym('alpha');
syms m c
m = m1*m2/(m1 + m2);
r2 = -alpha/(m*r^2);

J = simplify(subs(2/(3*c^3)*d^2, r, r2))

J = 
 $\frac{2 α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2}}{3 c^{3} {m_{1}}^{2} {m_{2}}^{2} r^{4}}$

楕円軌道のパラメーター

楕円軌道の長半径 a と離心率 $ϵ$ は以下の式で与えられます。ここで、E は全軌道エネルギー、 $L = m r^{2} ϕ_{}^{˙}$ は角運動量です。

syms E L phi
a = alpha/(2*E)

a = 
 $\frac{α}{2 E}$

eccentricity = sqrt(1-2*E*L^2/(m*alpha^2))

eccentricity = 
 $\sqrt{1 - \frac{2 E L^{2} (m_{1} + m_{2})}{α^{2} m_{1} m_{2}}}$

楕円軌道の方程式 $1 + ϵ \cos ϕ = a (1 - ϵ^{2}) / r$ から、角度 phi によって距離 r を表すことができます。

r = a*(1 - eccentricity^2)/(1 + eccentricity*cos(phi));

平均放射電力

楕円軌道で運動する 2 個の荷電粒子の平均放射電力は、運動の周期で正規化された 1 サイクルの運動に対する放射電力の積分 $J_{a v g} = 1 / T \int_{0}^{T} J d t$ です。運動の周期 T は以下のとおりです。

T = 2*pi*sqrt(m*a^3/alpha);

積分変数 t を phi に変更すると、以下の結果が得られます。関数 simplify を使用すると、より短い積分結果が得られます。ここでは、subs を使用して J を評価します。

J = subs(J);
Javg = simplify(1/T*int(J*m*r^2/L, phi, 0, 2*pi))

Javg = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2} (2 E L^{2} m_{1} + 2 E L^{2} m_{2} - 3 α^{2} m_{1} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} {(m_{1} + m_{2})}^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{1} m_{2}}{E^{3} (m_{1} + m_{2})}}}$

一方の粒子が他方より非常に重い場合

一方の粒子が他方より非常に重い (m1>>m2) ときの電気双極子の平均放射電力を推定します。ここでは、m1 が無限大に近付くと仮定して、放射電力の式の極限値を計算します。

limJ = limit(Javg, m1, Inf);
simplify(limJ)

ans = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {e_{2}}^{2} (2 E L^{2} - 3 α^{2} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{2}}{E^{3}}}}$