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電気双極子モーメントと放射電力
この例では、楕円軌道で運動する 2 個の引き合う電荷 ("電気双極子") の平均放射電力を求めます。
共通重心
2 個の対立電荷 e1
と e2
は電気双極子を形成します。荷電粒子の質量はそれぞれ、m1
と m2
です。共通重心は m1*r1 + m2*r2 = 0
になります。ここで、r1
および r2
は荷電粒子までの距離ベクトルです。荷電粒子間の距離は r = r1 - r2
です。
syms m1 m2 e1 e2 r1 r2 r [r1,r2] = solve(m1*r1 + m2*r2 == 0, r == r1 - r2, r1, r2)
r1 =
r2 =
双極子モーメント
この系の双極子モーメントを求めます。
d = e1*r1 + e2*r2; simplify(d)
ans =
単位時間あたりの放射電力
ラーモアの公式によって、単位時間内の全放射電力は 、または、荷電粒子間の距離で表すと、 となります。ここで、ドットは時間微分を意味します。クーロンの法則 から、系の減少質量 と粒子の電荷の積 によって、加速度 の値を求めることができます。
alpha = sym('alpha'); syms m c m = m1*m2/(m1 + m2); r2 = -alpha/(m*r^2); J = simplify(subs(2/(3*c^3)*d^2, r, r2))
J =
楕円軌道のパラメーター
楕円軌道の長半径 a と離心率 は以下の式で与えられます。ここで、E
は全軌道エネルギー、 は角運動量です。
syms E L phi a = alpha/(2*E)
a =
eccentricity = sqrt(1-2*E*L^2/(m*alpha^2))
eccentricity =
楕円軌道の方程式 から、角度 phi
によって距離 r
を表すことができます。
r = a*(1 - eccentricity^2)/(1 + eccentricity*cos(phi));
平均放射電力
楕円軌道で運動する 2 個の荷電粒子の平均放射電力は、運動の周期で正規化された 1 サイクルの運動に対する放射電力の積分 です。運動の周期 T
は以下のとおりです。
T = 2*pi*sqrt(m*a^3/alpha);
積分変数 t
を phi
に変更すると、以下の結果が得られます。関数 simplify
を使用すると、より短い積分結果が得られます。ここでは、subs
を使用して J
を評価します。
J = subs(J); Javg = simplify(1/T*int(J*m*r^2/L, phi, 0, 2*pi))
Javg =
一方の粒子が他方より非常に重い場合
一方の粒子が他方より非常に重い (m1>>m2
) ときの電気双極子の平均放射電力を推定します。ここでは、m1
が無限大に近付くと仮定して、放射電力の式の極限値を計算します。
limJ = limit(Javg, m1, Inf); simplify(limJ)
ans =