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ellipticK

第 1 種完全楕円積分

構文

ellipticK(m)

説明

ellipticK(m) は、第 1 種完全楕円積分を返します。

入力引数

m

数値、シンボリックな数値、シンボリック変数、シンボリック式またはシンボリック関数。この引数には、数値、シンボリック数、シンボリック変数、シンボリック式またはシンボリック関数のベクトルまたは行列を指定することもできます。

以下の数値について第 1 種完全楕円積分を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

s = [ellipticK(1/2), ellipticK(pi/4), ellipticK(1),  ellipticK(-5.5)]
s =
    1.8541    2.2253       Inf    0.9325

同じ数値をシンボリック オブジェクトに変換して第 1 種完全楕円積分を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、ellipticK は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

s = [ellipticK(sym(1/2)), ellipticK(sym(pi/4)),...
 ellipticK(sym(1)),  ellipticK(sym(-5.5))]
s =
[ ellipticK(1/2), ellipticK(pi/4), Inf, ellipticK(-11/2)]

vpa を使用して、この結果を浮動小数点数で近似します。

vpa(s, 10)
ans =
[ 1.854074677, 2.225253684, Inf, 0.9324665884]

第 1 種完全楕円積分を含む式を微分します。

syms m
diff(ellipticK(m))
diff(ellipticK(m^2), m, 2)
ans =
- ellipticK(m)/(2*m) - ellipticE(m)/(2*m*(m - 1))
 
ans =
(2*ellipticE(m^2))/(m^2 - 1)^2 - (2*(ellipticE(m^2)/(2*m^2) -...
ellipticK(m^2)/(2*m^2)))/(m^2 - 1) + ellipticK(m^2)/m^2 +...
(ellipticK(m^2)/m + ellipticE(m^2)/(m*(m^2 - 1)))/m +...
ellipticE(m^2)/(m^2*(m^2 - 1))

ここで、ellipticE は第 2 種完全楕円積分を表します。

第 1 種完全楕円積分をプロットします。

syms m
ezplot(ellipticK(m))
title('Complete elliptic integral of the first kind')
ylabel('ellipticK(m)')
grid on

このシンボリック行列に対して ellipticK を呼び出します。入力引数が行列である場合、ellipticK は各要素について第 1 種完全楕円積分を計算します。

ellipticK(sym([-2*pi -4; 0 1]))
ans =
[ ellipticK(-2*pi), ellipticK(-4)]
[             pi/2,           Inf]

代替方法

ellipke を使用して、第 1 種と第 2 種の完全楕円積分を 1 回の関数呼び出しで計算することができます。

詳細

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第 1 種完全楕円積分

第 1 種完全楕円積分は、次のように定義されます。

K(m)=F(π2|m)=0π/211msin2θdθ

定義によってはパラメーター m の代わりに楕円係数 k またはモジュラー角 α が使用されることに注意してください。これらは、m = k2 = sin2α として関連しています。

ヒント

  • ellipticK は、シンボリック オブジェクトではない数値引数に対し浮動小数点の結果を返します。

  • ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、ellipticK は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。vpa を使用して、結果を浮動小数点数で近似することができます。

  • m がベクトルまたは行列である場合、ellipticK(m) は、m の各要素について評価された第 1 種完全楕円積分を返します。

参考文献

[1] Milne-Thomson, L. M. “Elliptic Integrals.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

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