beta

ベータ関数

構文

beta(x,y)

説明

beta(x,y) は、x および y のベータ関数を返します。

例

数値入力についてのベータ関数の計算

次の数値についてベータ関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[beta(1, 5), beta(3, sqrt(2)), beta(pi, exp(1)), beta(0, 1)]

ans =
    0.2000    0.1716    0.0379       Inf

シンボリック入力についてのベータ関数の計算

シンボリック オブジェクトに変換された数値のベータ関数を計算します。

[beta(sym(1), 5), beta(3, sym(2)), beta(sym(4), sym(4))]

ans =
[ 1/5, 1/12, 1/140]

どちらか一方または両方のパラメーターが複素数の場合は、これらの数値をシンボリック オブジェクトに変換します。

[beta(sym(i), 3/2), beta(sym(i), i), beta(sym(i + 2), 1 - i)]

ans =
[ (pi^(1/2)*gamma(1i))/(2*gamma(3/2 + 1i)), gamma(1i)^2/gamma(2i),...
 (pi*(1/2 + 1i/2))/sinh(pi)]

負のパラメーターについてのベータ関数の計算

負のパラメーターのベータ関数を計算します。どちらか一方または両方の引数が負の数値である場合は、これらの数値をシンボリック オブジェクトに変換します。

[beta(sym(-3), 2), beta(sym(-1/3), 2), beta(sym(-3), 4),  beta(sym(-3), -2)]

ans =
[ 1/6, -9/2, Inf, Inf]

行列入力についてのベータ関数の計算

行列 A と値 1 に対して beta を呼び出します。結果はベータ関数 beta(A(i,j),1) の行列となります。

A = sym([1 2; 3 4]);
beta(A,1)

ans =
[   1, 1/2]
[ 1/3, 1/4]

ベータ関数の微分

ベータ関数を微分してから、変数 t に値 2/3 を代入し、vpa を使用して結果を近似します。

syms t
u = diff(beta(t^2 + 1, t))
vpa(subs(u, t, 2/3), 10)

u =
beta(t, t^2 + 1)*(psi(t) + 2*t*psi(t^2 + 1) -...
psi(t^2 + t + 1)*(2*t + 1))

ans =
-2.836889094

ベータ関数の展開

次のベータ関数を展開します。

syms x y
expand(beta(x, y))
expand(beta(x + 1, y - 1))

ans =
(gamma(x)*gamma(y))/gamma(x + y)

ans =
-(x*gamma(x)*gamma(y))/(gamma(x + y) - y*gamma(x + y))

入力引数

x — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

x がベクトルまたは行列の場合、beta は x の要素ごとにベータ関数を返します。

y — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

y がベクトルまたは行列の場合、beta は y の要素ごとにベータ関数を返します。

詳細

ベータ関数

次の積分はベータ関数を定義します。

$${\rm B}\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}{\left(1-t\right)}^{y-1}dt}=\frac{\Gamma \left(x\right)\Gamma \left(y\right)}{\Gamma \left(x+y\right)}$$

ヒント

• ベータ関数は、正の数値と正の実数部をもつ複素数に対して一意に定義されます。他の数値に対しては近似されます。

• シンボリック オブジェクトではない数値について beta を呼び出すと、MATLAB^® 関数 beta が呼び出されます。この関数では実数の引数だけが受け入れられます。複素数のベータ関数を計算する場合は、sym を使用してその数値をシンボリック オブジェクトに変換し、そのシンボリック オブジェクトに対して beta を呼び出します。

• 片方または両方のパラメーターが負の数値である場合、sym を使用してその数値をシンボリック オブジェクトに変換し、そのシンボリック オブジェクトに対して beta を呼び出します。

• ベータ関数に特異点がある場合、beta は正の無限大 Inf を返します。

• beta(sym(0),0)、beta(0,sym(0)) および beta(sym(0),sym(0)) は NaN を返します。

• beta(x,y) = beta(y,x) と beta(x,A) = beta(A,x) の 2 つがあります。

• 少なくとも 1 つの入力引数はスカラーであるか、両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、beta(x,y) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

参照

[1] Zelen, M. and N. C. Severo. “Probability Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2014a で導入

参考

gamma | factorial | nchoosek | psi