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bessely

第 2 種ベッセル関数

構文

bessely(nu,z)

説明

bessely(nu,z) は、第 2 種ベッセル関数 Yν(z) を返します。

入力引数

nu

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。nu がベクトルまたは行列の場合、besselynu の要素ごとに第 2 種ベッセル関数を返します。

z

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。z がベクトルまたは行列の場合、besselyz の要素ごとに第 2 種ベッセル関数を返します。

次の 2 階微分方程式を解きます。解は、第 1 種と第 2 種のベッセル関数です。

syms nu w(z)
dsolve(z^2*diff(w, 2) + z*diff(w) +(z^2 - nu^2)*w == 0)
ans =
C2*besselj(nu, z) + C3*bessely(nu, z)

第 2 種ベッセル関数が、ベッセル微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms nu z
isAlways(z^2*diff(bessely(nu, z), z, 2) + z*diff(bessely(nu, z), z)...
 + (z^2 - nu^2)*bessely(nu, z) == 0)
ans =
     1

この数値について第 2 種ベッセル関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[bessely(0, 5), bessely(-1, 2), bessely(1/3, 7/4), bessely(1, 3/2 + 2*i)]
ans =
  -0.3085 + 0.0000i   0.1070 + 0.0000i   0.2358 + 0.0000i  -0.4706 + 1.5873i

シンボリック オブジェクトに変換された数値について第 2 種ベッセル関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、bessely は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[bessely(sym(0), 5), bessely(sym(-1), 2),...
 bessely(1/3, sym(7/4)), bessely(sym(1), 3/2 + 2*i)]
ans =
[ bessely(0, 5), -bessely(1, 2), bessely(1/3, 7/4), bessely(1, 3/2 + 2i)]

シンボリックな変数と式の場合も、bessely により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms x y
[bessely(x, y), bessely(1, x^2), bessely(2, x - y), bessely(x^2, x*y)]
ans =
[ bessely(x, y), bessely(1, x^2), bessely(2, x - y), bessely(x^2, x*y)]

最初のパラメーターが奇数の整数を 1/2 で乗算した値の場合、besseli は初等関数でベッセル関数を書き換えます。

syms x
bessely(1/2, x)
ans =
-(2^(1/2)*cos(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))
bessely(-1/2, x)
ans =
(2^(1/2)*sin(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))
bessely(-3/2, x)
ans =
(2^(1/2)*(cos(x) - sin(x)/x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))
bessely(5/2, x)
ans =
-(2^(1/2)*((3*sin(x))/x + cos(x)*(3/x^2 - 1)))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

第 2 種ベッセル関数に関する式を微分します。

syms x y
diff(bessely(1, x))
diff(diff(bessely(0, x^2 + x*y -y^2), x), y)
ans =
bessely(0, x) - bessely(1, x)/x
 
ans =
- bessely(1, x^2 + x*y - y^2) -...
(2*x + y)*(bessely(0, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y) -...
(bessely(1, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y))/(x^2 + x*y - y^2))

行列 A と値 1/2 に対して bessely を呼び出します。結果はベッセル関数 bessely(1/2, A(i,j)) の行列となります。

syms x
A = [-1, pi; x, 0];
bessely(1/2, A)
ans =
[         (2^(1/2)*cos(1)*1i)/pi^(1/2), 2^(1/2)/pi]
[ -(2^(1/2)*cos(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2)),        Inf]

ν = 0, 1, 2, 3 の第 2 種変形ベッセル関数をプロットします。

syms x y
for nu = [0, 1, 2, 3]
  fplot(bessely(nu, x), [0, 10])
  hold on
end
axis([0, 10, -1, 0.6])
grid on
ylabel('Y_v(x)')
legend('Y_0','Y_1','Y_2','Y_3', 'Location','Best')
title('Bessel functions of the second kind')
hold off

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第 2 種ベッセル関数

ベッセル微分方程式

z2d2wdz2+zdwdz+(z2ν2)w=0

には、2 つの線形独立解があります。これらの解は、第 1 種変形ベッセル関数 Jν(z) および第 2 種変形ベッセル関数 Yν(z) で表されます。

w(z)=C1Jν(z)+C2Yν(z)

第 2 種ベッセル関数は、第 1 種ベッセル関数によって定義されます。

Yν(z)=Jν(z)cos(νπ)Jν(z)sin(νπ)

ここで、Jν(z) は、第 1 種ベッセル関数です。

Jν(z)=(z/2)νπΓ(ν+1/2)0πcos(zcos(t))sin(t)2νdt

ヒント

  • シンボリック オブジェクトではない数値について bessely を呼び出すと、MATLAB® 関数 bessely が呼び出されます。

    少なくとも 1 つの入力引数はスカラーであるか、両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、bessely(nu,z) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

参考文献

[1] Olver, F. W. J. “Bessel Functions of Integer Order.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

[2] Antosiewicz, H. A. “Bessel Functions of Fractional Order.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

R2014a で導入

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