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bernoulli

ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式

構文

bernoulli(n)

bernoulli(n,x)

説明

bernoulli(n) は、n 番目のベルヌーイ数を返します。

bernoulli(n,x) は、n 番目のベルヌーイ多項式を返します。

例

偶数項と奇数項のベルヌーイ数

0 番目のベルヌーイ数は 1 です。次のベルヌーイ数は、定義に応じて -1/2 または 1/2 になります。関数 bernoulli は、-1/2 を使用します。偶数項 n > 1 のベルヌーイ数では、正の数と負の数が交互に並びます。奇数項 n > 2 のベルヌーイ数は、0 となります。

0 から 10 までの偶数項のベルヌーイ数を計算します。これらの項はシンボリック オブジェクトではないため、bernoulli は浮動小数点の結果を返します。

bernoulli(0:2:10)

ans =
    1.0000    0.1667   -0.0333    0.0238   -0.0333    0.0758

項をシンボリック オブジェクトに変換して同じベルヌーイ数を計算します。

bernoulli(sym(0:2:10))

ans =
[ 1, 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66]

1 から 11 までの奇数項のベルヌーイ数を計算します。

bernoulli(sym(1:2:11))

ans =
[ -1/2, 0, 0, 0, 0, 0]

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式では、2 つの入力引数で bernoulli を使用します。

ベルヌーイ多項式の変数 x、y および z について、それぞれの 1 次、2 次および 3 次導関数を計算します。

syms x y z
bernoulli(1, x)
bernoulli(2, y)
bernoulli(3, z)

ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y + 1/6
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + z/2

2 番目の引数が数値である場合、bernoulli はその数について多項式を評価します。ここでは、入力引数はシンボリック数ではないので結果は浮動小数点数になります。

bernoulli(2, 1/3)

ans =
   -0.0556

シンボリック厳密解の結果を取得するためには、少なくとも 1 つの数値をシンボリック オブジェクトに変換します。

bernoulli(2, sym(1/3))

ans =
-1/18

ベルヌーイ多項式のプロット

最初の 6 つのベルヌーイ多項式をプロットします。

syms x
fplot(bernoulli(0:5, x), [-0.8 1.8])
title('Bernoulli Polynomials')
grid on

ベルヌーイ多項式を含む式の処理

diff および expand などの多くの関数は bernoulli を含む式を処理することができます。

ベルヌーイ多項式の 1 次および 2 次導関数を求めます。

syms n x
diff(bernoulli(n,x^2), x)

ans =
2*n*x*bernoulli(n - 1, x^2)

diff(bernoulli(n,x^2), x, x)

ans =
2*n*bernoulli(n - 1, x^2) +...
4*n*x^2*bernoulli(n - 2, x^2)*(n - 1)

ベルヌーイ多項式を含む式を展開します。

expand(bernoulli(n, x + 3))

ans =
bernoulli(n, x) + (n*(x + 1)^n)/(x + 1) +...
(n*(x + 2)^n)/(x + 2) + (n*x^n)/x

expand(bernoulli(n, 3*x))

ans =
(3^n*bernoulli(n, x))/3 + (3^n*bernoulli(n, x + 1/3))/3 +...
(3^n*bernoulli(n, x + 2/3))/3

入力引数

n — ベルヌーイ数またはベルヌーイ多項式のインデックス

非負の整数 | シンボリック非負の整数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

ベルヌーイ数またはベルヌーイ多項式のインデックス。非負の整数、シンボリックな非負の整数、変数、式、関数、ベクトルまたは行列として指定します。n がベクトルまたは行列である場合、bernoulli は n の各要素につきベルヌーイ数またはベルヌーイ多項式を返します。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、bernoulli(n,x) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

x — 多項式の変数

シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

多項式の変数。シンボリック変数、式、関数、ベクトルまたは行列として指定します。x がベクトルまたは行列である場合、bernoulli は x の各要素につきベルヌーイ数またはベルヌーイ多項式を返します。bernoulli 関数を使用してベルヌーイ多項式を求める場合、少なくとも 1 つの引数はスカラーであるか、または両方の引数は同じサイズのベクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、bernoulli(n,x) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

詳細

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式は、次のように定義されます。

$$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathrm{bernoulli}\left(n,x\right)\frac{t^n}{n!}}$$

ベルヌーイ数

ベルヌーイ数は、次のように定義されます。

$$\mathrm{bernoulli}\left(n\right)=\mathrm{bernoulli}\left(n,0\right)$$

バージョン履歴

R2014a で導入

参考

euler