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airy

エアリー関数

構文

airy(x)
airy(0,x)
airy(1,x)
airy(2,x)
airy(3,x)
airy(n,x)

説明

airy(x) は、第 1 種エアリー関数 Ai(x) を返します。

関数 airy(0,x) は、関数 airy(x) と等価です。

airy(1,x) は、第 1 種エアリー関数の導関数 Ai′(x) を返します。

airy(2,x) は、第 2 種エアリー関数 Bi(x) を返します。

airy(3,x) は、第 2 種エアリー関数の導関数 Bi′(x) を返します。

airy(n,x) は、エアリー関数のベクトルまたは行列を出力します。

入力引数

x

シンボリックな数値、変数、式または関数、あるいはシンボリックな数値、変数、式、関数のベクトルまたは行列。x がベクトルまたは関数である場合、airyxのそれぞれの要素につきエアリー関数を返します。

n

数値 012 および 3 のベクトルまたは行列。

次の 2 階微分方程式を解きます。解は第 1 種と第 2 種のエアリー関数になります。

syms y(x)
dsolve(diff(y, 2) - x*y == 0)
ans =
C2*airy(0, x) + C3*airy(2, x)

第 1 種のエアリー関数が、エアリー微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms x
simplify(diff(airy(0, x), x, 2) - x*airy(0, x)) == 0
ans =
     1

第 2 種のエアリー関数が、エアリー微分方程式の有効な解であることを検証します。

simplify(diff(airy(2, x), x, 2) - x*airy(2, x)) == 0
ans =
     1

次の数値についてエアリー関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[airy(1), airy(1, 3/2 + 2*i), airy(2, 2), airy(3, 1/101)]
ans =
   0.1353             0.1641 + 0.1523i   3.2981             0.4483

シンボリック オブジェクトに変換された数値のエアリー関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、airy は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[airy(sym(1)), airy(1, sym(3/2 + 2*i)), airy(2, sym(2)), airy(3, sym(1/101))]
ans =
[ airy(0, 1), airy(1, 3/2 + 2*i), airy(2, 2), airy(3, 1/101)]

シンボリックな変数と式の場合も、airy により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms x y
[airy(x), airy(1, x^2), airy(2, x - y), airy(3, x*y)]
ans =
[ airy(0, x), airy(1, x^2), airy(2, x - y), airy(3, x*y)]

x = 0 の場合のエアリー関数を計算します。エアリー関数には、このパラメーターに特別な値が存在します。

airy(sym(0))
ans =
3^(1/3)/(3*gamma(2/3))
airy(1, sym(0))
ans =
-(3^(1/6)*gamma(2/3))/(2*pi)
airy(2, sym(0))
ans =
3^(5/6)/(3*gamma(2/3))
airy(3, sym(0))
ans =
(3^(2/3)*gamma(2/3))/(2*pi)

sym を使用しない場合は、これらの値の数値近似を返す MATLAB® airy 関数を呼び出します。

[airy(0), airy(1, 0), airy(2, 0), airy(3, 0)]
ans =
    0.3550   -0.2588    0.6149    0.4483

エアリー関数を含む式を微分します。

syms x y
diff(airy(x^2))
diff(diff(airy(3, x^2 + x*y -y^2), x), y)
ans =
2*x*airy(1, x^2)
 
ans =
airy(2, x^2 + x*y - y^2)*(x^2 + x*y - y^2) +...
airy(2, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y)*(2*x + y) +...
airy(3, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y)*(2*x + y)*(x^2 + x*y - y^2)
 

行列 A の要素の第 1 種エアリー関数を計算します。

syms x
A = [-1, 0; 0, x];
airy(A)
ans =
[            airy(0, -1), 3^(1/3)/(3*gamma(2/3))]
[ 3^(1/3)/(3*gamma(2/3)),             airy(0, x)]

エアリー関数 Ai(x) とその導関数 Ai'(x) をプロットします。

syms x
ezplot(airy(x))
hold on
ezplot(airy(1,x))

title('Airy function Ai and its first derivative')
hold off

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エアリー関数

エアリー関数 Ai(x) および Bi(x) は、次の微分方程式の線形独立解です。

2yx2xy=0

ヒント

  • シンボリック オブジェクトではない数値について airy を呼び出すと、MATLAB 関数 airy が呼び出されます。

  • 2 つの入力引数を使用して airy を呼び出す際、少なくとも一方の引数がスカラーであるか、または両方の引数は同じサイズのべクトルまたは行列でなければなりません。一方の入力引数がスカラーであり、もう一方の入力引数がベクトルまたは行列である場合、airy(n,x) によってスカラーは、すべての要素がそのスカラーと等しい、もう一方の引数と同じサイズのベクトルまたは行列に拡張されます。

参考文献

Antosiewicz, H. A.“Bessel Functions of Fractional Order.”Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.(M.Abramowitz and I. A. Stegun, eds.).New York: Dover, 1972.

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