t 位置-スケール分布

概要

t 位置-スケール分布は、正規分布よりも厚い裾 (外れ値によりなりやすい) をもつデータの分布のモデリングに有効です。これは、ν が無限大に近づくにつれて、正規分布に近づき、ν の値が小さいほど裾が厚くなります。

パラメーター

t 位置-スケール分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター	説明	サポート
μ	位置パラメーター	–∞ < μ < ∞
σ	スケール パラメーター	σ > 0
ν	形状パラメーター	ν > 0

分布パラメーターを推定するには、mle を使用します。あるいは、fitdist または分布フィッター アプリを使用して tLocationScaleDistribution オブジェクトをデータに当てはめます。

確率密度関数

t 位置-スケール分布の確率密度関数 (pdf) は以下のようになります。

$$\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sigma \sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left[\frac{\nu +{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}{\nu }\right]}^{-\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}$$

ここで、Γ( • ) はガンマ関数、μ は位置パラメーター、σ はスケール パラメーター、ν は形状パラメーターです。

確率密度関数を計算するには、pdf を使用して 'tLocationScale' を指定します。あるいは、fitdist または makedist を使用して tLocationScaleDistribution オブジェクトを作成し、このオブジェクトと連携する pdf を使用できます。

累積分布関数

確率密度関数を計算するには、cdf を使用して 'tLocationScale' を指定します。あるいは、fitdist または makedist を使用して tLocationScaleDistribution オブジェクトを作成し、このオブジェクトと連携する cdf を使用できます。

記述統計

t 位置-スケール分布の平均は以下のようになります。

$$\text{mean}=\mu ,$$

ここで、μ は位置パラメーターです。平均は、形状パラメーター値 ν > 1 の場合のみ定義されます。ν が他の値の場合、平均は定義されません。

t 位置-スケール分布の分散は以下のようになります。

$$\mathrm{var}={\sigma }^2\frac{\nu }{\nu -2},$$

ここで、μ は位置パラメーターで、ν は形状パラメーターです。分散は、値 ν > 2 の場合のみ定義されます。ν が他の値の場合、分散は定義されません。

平均と分散を計算するには、fitdist または makedist を使用する tLocationScaleDistribution オブジェクトを作成します。分布フィッター アプリを使用することもできます。

他の分布との関係

x がパラメーター µ、σ、および ν をもつ、t 位置-スケール分布に従う場合、

$$\frac{x-\mu }{\sigma }$$

は、自由度 ν をもつスチューデントの t 分布に従います。

参考

tLocationScaleDistribution

関連するトピック

• t 位置-スケールを使用したコーシー分布の表現
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