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スチューデント t 分布

定義

スチューデントの t 分布の確率密度関数は、

y=f(x|ν)=Γ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+x2ν)ν+12

ここで、Γ( · ) はガンマ関数です。

背景

t 分布は、1 つのパラメーター ν (自由度) に依存する曲線群です。ν が無限大に近づくと、t 分布は標準正規分布に近づきます。

W. S. Gossett はギネス・ビール社での仕事の中で、この分布を発見しました。その頃、ギネス社ではスタッフが出版することを許可していなかったので、Gossett はペンネーム「Student」を使用しました。

x が、平均 μ の正規分布からのランダムなサイズ n の標本の場合、統計量は次の式で表されます。

t=x¯μs/n

ここで、x¯ は標本平均で s は標本標準偏差です。自由度 n – 1 をもつスチューデント t 分布に従います。

スチューデントの t 分布と正規分布の確率密度関数の比較

パラメーター nu = 5 によって、スチューデントの t 分布の確率密度関数を計算し、さらに標準正規分布についても計算します。

x = -5:0.1:5;
y = tpdf(x,5);
z = normpdf(x,0,1);

スチューデントの t 分布と標準正規分布の確率密度関数を、同じ Figure にプロットします。標準正規分布の確率密度関数 (点線) の裾はスチューデントの t 分布の確率密度関数 (実線) より短くなっています。

figure;
plot(x,y,'-',x,z,'-.')

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